Um bloco de massa é lançado em um plano inclinado, fazendo um ângulo com o solo, com velocidade inicial . Ele sobe, atinge o ponto mais alto da trajetória, e retorna à posição inicial. Considerando a aceleração gravitacional e o coeficiente de atrito cinético , responda às seguintes questões:

(a) Faça o diagrama de forças que atuam sobre o corpo no início do movimento.

(b) Descreva os valores das forças indicadas no item anterior em termo das variáveis do enunciado.

(c) Qual a distância total percorrida pelo corpo na subida?

(d) Qual o trabalho realizado pela força peso e pela força de atrito ao longo da subida.

(e) Qual o trabalho realizado pela força peso e pela força de atrito ao longo da descida.

(f) Qual a variação da energia cinética no trajeto total do corpo?

(a) Faça o diagrama de forças que atuam sobre o corpo no início do movimento.

No momento inicial, o movimento do bloquinho é para cima da rampa, então a força de atrito vai estar para baixo na rampa (direção contrária).

Além disso, temos a força peso vertical para baixo e a força normal perpendicular à superfície do plano inclinado:

(b) Descreva os valores das forças indicadas no item anterior em termo das variáveis do enunciado.

Nós só podemos escrever as forças em função das variáveis . Além disso, os eixos do problema já estão definidos, sendo paralelo à rampa (para baixo) e normal à ela.

Começando com a força peso , vamos decompor ela em suas componentes:

Assim, podemos dizer que a força peso será a soma de suas componentes nas direções dos eixos e :

Sabemos que a força , então:

Agora, vamos à força normal . Para escrevê-la em função das nossas variáveis, temos que relacioná-la com a componente da força peso na mesma direção.

Se temos um equilíbrio na direção , podemos dizer que:

Então, lembrando que ela está no sentido positivo do eixo, achamos que:

Por último, vamos à força de atrito , que aponta no sentido positivo de . Como o bloco está se movendo, a força de atrito é cinética, e tem a expressão:

Onde é o coeficiente de atrito cinético e é a força normal da superficie . Logo, temos que:

(c) Qual a distância total percorrida pelo corpo na subida?

A gente sabe a velocidade inicial e a aceleração, certo?

O bloquinho vai subir até que sua velocidade chegue a zero, então é só a gente usar aquelas equações de movimento uniformemente variado e achar qual a distância que ele chega até parar.

Já que não temos o tempo, é conveniente usar Torricelli:

Putzz, não pensei em usar Torricelli! Relaxa, dá pra achar o mesmo resultado por aquelas outras equações:

Mas voltando ao Torricelli, a velocidade final vai ser , a velocidade inicial vai ser o próprio , e o deslocamento vai ser a distância que queremos achar. Mas e a aceleração?

A aceleração, a gente acha pela segunda lei de Newton:

Lembrando aqui das nossas forças:

As forças em se anulam, então a força resultante será o somatório de forças em :

Cortando a massa dos dois lados, temos que a aceleração é:

Agora, é só substituir tudo isso no Torricelli, colocando sinais trocados entre a velocidade inicial e a aceleração (sentidos opostos):

A distância percorrida (em módulo) será:

(d) Qual o trabalho realizado pela força peso e pela força de atrito ao longo da subida.

Tanto a força peso quanto a força de atrito são constantes em todo o deslocamento, então podemos calcular o trabalho pelo produto da força com o deslocamento vezes o cosseno do ângulo entre eles:

Trabalho da força peso:

O trabalho da componente do peso em é nulo, pois apenas a componente da força na direção do deslocamento realiza trabalho. Então, usamos apenas a componente em :

Lembrando que o trabalho deve ser negativo, pois a força atua contra o movimento :

Trabalho da força de atrito:

A força de atrito também atua contra o movimento , então, seu trabalho também será negativo:

(e) Qual o trabalho realizado pela força peso e pela força de atrito ao longo da descida.

Essa dá pra matar rapidinho. O deslocamento na descida é o mesmo que o deslocamento na subida, certo?

Além disso, a força peso e a força de atrito vão ter o mesmo valor que antes.

Então, os trabalhos e na descida serão iguais em módulo aos trabalhos que calculamos na subida, com uma pequena diferença na análise de sinais.

Trabalho da força peso:

Agora, a forç a está atuando na mesma direção do deslocamento , então o trabalho será positivo.

Trabalho da força de atrito:

Quando o bloco começa a descer, a força de atrito vai trocar de direção, já que ela é sempre contra a tendência de deslizamento.

Então, ela continua atuando contra o movimento , logo seu trabalho será negativo:

(f) Qual a variação da energia cinética no trajeto total do corpo?

Lembra do teorema trabalho-energia cinética?

Ele diz que a variação da energia cinética é igual ao trabalho das forças externas sobre o corpo.

O trabalho total vai ser o trabalho da força peso mais o da força de atrito na subida e na descida.

OBS: A força Normal não faz trabalho porque é perpendicular ao movimento.

Trabalho da força peso :

Então, o trabalho total vai ser:

Trabalho da força de atrito :

Juntando tudo, temos que:

Ou seja, achamos que a variação da energia cinética é:

Faz sentido, que a variação seja negativa, já que a força de atrito vai dissipando energia ao longo do trajeto.