Uma pequena esfera de massa m está pendurada no teto por uma corda de comprimento L como indicado na figura. Uma força constante F → é aplicada à esfera na direção horizontal deslocando-a lentamente desde a posição quando a corda está na vertical até quando a corda faz um ângulo θ com a vertical. O caminho que a esfera percorre é o arco de círculo s . Sabendo que a esfera se encontra em repouso antes e depois do deslocamento, responda em função dos dados do problema. Utilize g para a aceleração da gravidade.

a) Escreva em notação vetorial (em termos dos vetores unitários i ^ e j ^ ) a tensão na corda para a posição indicada na figura.

b) Desenvolva o teorema trabalho-energia para a situação descrita.

c) Calcule os trabalhos realizados pela tensão, força da gravidade e força F → . Justifique cada um dos seus cálculos.

d) A origem do potencial está onde a corda está presa no teto. Calcule o valor da energia potencial gravitacional da esfera para posição indicada na figura.

Passo 1

(a)

Para permanecer em equilíbrio: T x = - F e T y = m g

Logo, em notação vetorial, isso ficará:

T → = - F   i ^ + m g   j ^

Passo 2

(b)

O teorema trabalho-energia nos diz que o trabalho total é igual a variação da energia cinética.

W T O T A L = Δ K

Como a bola se encontra em repouso antes e depois. Então a variação de energia cinética e nula. Logo teremos:

W T + W g + W F = 0

Passo 3

(c)

A tensão na corda T → é sempre perpendicular ao deslocamento s → portanto:

W T = 0

A força da gravidade é conservativa, portanto o trabalho realizado por ela só depende da posição inicial e final. Como ela aponta sempre na direção y o seu trabalho é igual a m g y f - y i

Sendo a altura final igual a L cos ⁡ θ . Temos:

W g = m g ( L cos ⁡ θ - L )

Para calcular o trabalho da força F → , basta substituir o que já achamos no teorema trabalho-energia:

0 + m g L cos ⁡ θ - L + W F = 0

W F = m g L - L cos ⁡ θ

Passo 4

(d)

Com a origem do potencial no teto, a energia potencial será a mesma, mas negativa:

U g = - m g L cos ⁡ θ

Resposta

(a) T → = - F   i ^ + m g   j ^

(b) W T + W g + W F = 0

(c) W F = m g L - L cos ⁡ θ

(d) U g = - m g L cos ⁡ θ

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