Um corpo desliza em um piso horizontal no sentido positivo do eixo x enquanto uma força F x = 6 - 2 x   N , m age sobre ele. O corpo parte do repouso na posição x 0 = 0 e se move até ficar momentaneamente em repouso.

(a) Expresse o trabalho realizado pela força F x sobre o corpo em função da posição final x = x f . Considere como posição inicial x = 0 .

(b) Esboce o gráfico da forças versus posição. Determine o valor máximo da energia cinética adquirida pelo corpo e em que posição ela ocorre.

(c) Determine, depois de iniciado o movimento, em que posição o corpo fica em repouso momentaneamente?

Passo 1

No letra (a), queremos o trabalho da força F x até uma posição x f .

Muitas vezes, calculamos o trabalho de uma força constante F .

W = F → ∙ d →

Quando a força está na mesma direção do deslocamento, temos:

W = F d

Porém, agora temos uma força variando ao longo do tempo, por isso precisamos calcular o trbalho realizado por cada valor F x ao longo de um deslocamentozinho que chamamos de infinitesimal ao longo de d x .

A soma desses trabalhos ao longo de todo o deslocamento será dado pela integral dessa expressão:

W = ∫ F x d x

Além disso, a posição x vai variar de 0 até uma posição x f . Então, nossos lmites da integral ficam:

W = ∫ 0 x f F x d x

W = ∫ 0 x f 6 - 2 x d x

Integrando isso, temos:

W = 6 x - 2 x 2 2 x f 0

Aplicando nos intervalos:

W = 6 x f - 2 x f 2 2 - 6 0 - 2 0 2

W = 6 x f - x f 2

Agora, temos o valor do trabalho para um deslocamento até uma posição qualquer x f .

Passo 2

Na letra (b), queremos o gráfico F x × x e o valor de energia cinética máxima.

Vamos começar desenhando esse gráfico.

F x = 6 - 2 x

O gráfico da força F x ao longo de x será uma reta decrescente começando em 6 quando x = 0 e com raiz em x = 3 :

6 - 2 x = 0

x = 3

O gráfico fica assim.

Se a força está na direção do eixo x , temos que a partir de x = 3 a força atua no sentido contrário do deslocamento.

Passo 3

Queremos o energia cinética máxima K m á x .

Pelo teorema trabalho-energia cinética:

W = ∆ K

W = K - K 0

Como a energia cinética inicial é nula (repouso), temos que o trabalho da força será igual à energia cinética final:

W = K

K m á x = W

Mas em que posição x f temos a velocidade do corpo máxima K m á x ?

Olhando novamente para o gráfico da força:

No intervalo de x = 0 a x = 3 a força F x é positiva e faz o corpo ganhar velocidade.

Porém, após a posição x = 3 , a força F x é negativa e passa a atuar contra o deslocamento do corpo, assim sua velocidade passa a diminuir.

Então o ponto de valocidade máxima K m á x será em x = 3 .

Passo 4

A energia cinética máxima, será:

K m á x = W 3

Podemos substistuir na expressão do trabalho:

K m á x = 6 x f - x f 2

K m á x = 6 3 - 3 2

K m á x = 18 - 9

K m á x = 9   J

Ou então podemos calcular a partir da área abaixo da reta no gráfico, isso porque a integral tem o valor da área abaixo da curva de um gráfico.

Então, aquele triângulo tem área:

K m á x = b × h 2

K m á x = 3 × 6 2

K m �� x = 9   J

Passo 5

Na letra (c), queremos a posição na qual a velocidade volta a ser zero.

Lembra que vimos que a partir de x = 3 a força atua contra o movimento, diminuindo a velocidade do corpo?

Então, em algum momento esse corpo vai parar novamente.

Para descobrirmos essa posição podemos simplesmente achar quando nossa energia cinética volta a ser nula:

K = 0

Já achamos que a expressão para a energia cinética será igual ao trabalho realizado por F x :

6 x f - x f 2 = 0

Então, com essa expressão, estamos achando em qual posição x f a energia cinética vale zero.

Colocando x f em evidência, temos:

x f 6 - x f = 0

A primeira raiz será:

x f = 0

Enquanto a segunda raiz será:

6 - x f = 0

x f = 6   m

Então, na posição x = 6 , a energia cinética do corpo volta a ser nula e ele para momentaneamente.

Resposta

(a) W = 6 x f - x f 2

(b)

K m á x = 9   J

(c) x f = 6   m

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