UERJ, Sem Campus, Equações Diferenciais Ordinárias, Listas de EDO - Profº Eduardo Vasquez - Lista 4, Questão A.5
Para cada uma das EDO’s a seguir, verifique que ela é exata e então determine sua solução geral.
5.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente verificar que a EDO é exata e determinar sua solução geral. Pra verificar se a equação é exata, vamos usar o critério de Euler, que nos diz que uma EDO do tipo:
será exata se e somente se
Então, o que vamos fazer é derivar o termo que acompanha em relação a e derivar o termo que acompanha em relação a . Se os resultados forem iguais, a EDO é exata.
Depois de confirmar que ela é exata, para encontrar a solução da EDO, vamos usar o passo a passo a seguir:
1. Integrar em relação a ;
2. Derivar o obtido no passo anterior com relação a ;
3. Comparar o obtido no passo anterior com ;
4. Achar , integrando ;
5. Obter a função inserindo o obtido no passo anterior dentro da função do passo .
A solução é dada implicitamente por:
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar verificando se é exata. Pra isso, vamos definir:
Derivando em relação a , temos:
Agora derivando em relação a , temos:
Portanto,
E a nossa EDO é exata, como queríamos demonstrar.
Passo 3
Agora vamos encontrar a solução geral da nossa EDO exata. Pra isso, vamos começar derivando em relação a :
Vamos imaginar que seja uma constante:
Integrando, vamos obter:
Simplificando:
Essa apareceu porque ao derivarmos em relação a , toda função que dependesse apenas de foi tratada como constante. Então, ao integrar devemos ter um termo que compense isso (é como se fosse aquela constante de integração).
Passo 4
Agora vamos derivar o resultado que acabamos de obter, em relação a :
Passo 5
Comparando o resultado obtido no passo com , vamos igualar:
Simplificando os termos semelhantes, temos:
Então, pra achar basta integrar , sem acrescentar a constante. Assim, vamos ter:
Passo 6
Por fim, obtemos inserindo o resultado do passo na expressão do passo :
A solução é dada implicitamente por :
Ou
Valeu, galera! Até a próxima! 😉