Sabe-se que f   : ] 0 ,   + ∞ [ →   R é uma função contínua que satisfaz a equação 2   + ∫ a x 3 f ( t )   d t   =   e 3 x para todo x > 0 e algum a > 0. Dado t > 0, qual é o valor de f(t)?

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que calcular o valor de f(t), sendo

2   + ∫ a x 3 f ( t )   d t   =   e 3 x

Vamos isolar a integral e tomar a derivada para obter f(t), utilizando o teorema fundamental do cálculo.

Então vamos lá!

Passo 2

Temos pelo teorema fundamental do cálculo, que

F ( x ) = ∫ 0 x f ( t )   d t ) ,   F ' ( x ) = f ( x )

Então, isolando a integral e tomando a derivada de ambos os lados

2   + ∫ a x 3 f ( t )   d t   =   e 3 x

  d d x ∫ a x 3 f ( t )   d t = d d x (   e 3 x - 2 )

resolvendo a derivada:

f ( x 3 ) d   x 3 d x = 3   e 3 x

f ( x 3 ) 3 x 2 = 3   e 3 x

f ( x 3 ) =   e 3 x x 2

Passo 3

Agora fazemos t = x 3 , então x = t 1 3 , assim

f ( t ) =   e 3 t 1 3 t 2 3 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ( t ) =   e 3 t 1 3 t 2 3 .

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