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Exercícios Resolvidos de Equação Exata

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Enunciado

UFPA – Cálculo I – Listas de Exercícios 01 – Questão 7k

Determine se a equação dada é exata. Se for, encontre a solução.

k ) x ln ⁡ y + x y d x + y ln ⁡ x + x y d y = 0 ,   x > 0 ,   y > 0

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial

x ln ⁡ y + x y d x + y ln ⁡ x + x y d y = 0

Para resolvê-la vamos montar a nossa equação do tipo

M x , y d x + N x , y d y = 0

Ok, mas e agora?

Para verificar se é exata precisamos verificar se

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Se isso foi verificado então teremos uma solução do tipo

u x , y

E que satisfaz

M x , y = ∂ u ∂ x ,   N x , y = ∂ u ∂ y

Beleza?

A ideia aqui é integrar ou M ou N , achar u . Depois derivar em relação à outra variável e comparar para ver qual é a função faltante, integrar e achar a função completa!

Teremos algo do tipo

u x , y = C

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Precisamos resolver essa equação aqui

x ln ⁡ y + x y d x + y ln ⁡ x + x y d y = 0

Temos que

M = x ln ⁡ y + x y , ∂ M ∂ y = x y + x

N = y ln ⁡ x + x y , ∂ N ∂ x = y x + y

∂ M ∂ y ≠ ∂ N ∂ x , isso significa que não temos uma equação exata!

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

n ã o   é   e x a t a

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