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Exercícios Resolvidos de Equação Exata

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Enunciado

Nos exercícios de 1 a 6 identifique as equações diferenciais exatas e resolva-as.

6 .     1 + ln ⁡ x + y x d x = 1 - ln ⁡ x d y

Passo 1

Bom, para conseguir analisar essa EDO, temos que escrevê-la dessa maneira:

M x , y d x + N x , y d y = 0

1 + ln ⁡ x + y x d x = 1 - ln ⁡ x d y

1 + ln ⁡ x + y x d x - 1 - ln ⁡ x d y = 0

Finalmente:

1 + ln ⁡ x + y x d x + ln ⁡ x - 1 d y = 0

Para saber se a EDO é exata, precisamos ter:

∂ M x , y ∂ y = ∂ N x , y ∂ x

Beleza? Então façamos isso:

M x , y = 1 + ln ⁡ x + y x → ∂ M x , y ∂ y = 1 x

N x , y = ln ⁡ x - 1 → ∂ N x , y ∂ x = 1 x

∂ M x , y ∂ y = ∂ N x , y ∂ x

A EDO é exata.

Passo 2

Maneiro, agora vamos resolvê-la. A ideia dessa resolução é você pensar que houve uma derivação implícita para chegar naquela EDO, então a solução é do tipo:

u x , y = C

Então para começar a resolver, a o que a gente faz é integrar N ( x , y ) com respeito a y :

∫ N x , y d y = ∫ ln ⁡ x - 1 d y

∫ ln ⁡ x - 1 d y = y l n x - y + g ( x )

Lembrando que ao invés de colocar a constante de integração C , a gente escreve a constante como uma função de y (nesse caso, g ( x ) ).

Passo 3

Agora que já integramos com respeito a y , vamos derivar com respeito a x e comparar o resultado com M ( x , y ) :

∂ y l n x - y + g ( x ) ∂ x = y x + g ' x

y x + g ' x = 1 + ln ⁡ x + y x

g ' y = 1 + ln ⁡ x

Integrando para descobrir quem é g ( x ) :

g x = ∫ 1 + ln ⁡ x d x

g x = x + ∫ ln ⁡ x d x

Bom, para resolver essa integral, vamos ter que usar a integração por partes. Lembra da fórmula?

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Chamando u = ln ⁡ x → d u = 1 x d x ; d v = d x → v = x

∫ ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x - ∫ 1 d x = x l n x - x

Show, então ficamos com:

g x = x + x l n x - x

Lembrando que nesse passo, nós ignoramos a constante de integração, ok?

Passo 4

Show!!! Isso significa que:

u x , y = y l n x - y + x + x l n x - x

E como temos que u x , y = C :

- y + y l n x + x l n x = C

Agora corre pro abraço!!!

Resposta

6 .     - y + y l n x + x l n x = C

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