Equações Exatas e Quase Exatas
Resolva o problema de valor inicial abaixo, isto é, encontre a função ou as funções que satisfaz(em) a equação diferencial e as condições iniciais dadas.
Passo 1
Essa equação tem muito cara de ser exata, mas precisamos verificar isso antes de utilizar o método para resolver EDO’s exatas.
Para isso vamos usar o critério de Euler sabendo que e . A função é sempre a que multiplica e a função é sempre a que multiplica .
Como ela é exata e podemos partir pro abraço porque o método é tranquilo né?
Passo 2
Integrando em relação a
Então já achamos, mais ou menos, a que tem derivada parcial em relação a igual a e tem derivada parcial em relação a igual a . Só precisamos saber quem é essa “constante” que apareceu na integral que depende de .
Passo 3
Vamos derivar em relação a e comparar com
Comparando com
Logo
Que integrando obtemos
Passo 4
Logo que define implicitamente as soluções da equação dada pela forma
Mas como temos um PVI podemos determinar essa constante . A condição inicial foi então
Passo 5
A solução é dada implicitamente pela equação
Precisamos resolver essa equação para achar , se liga que ela é uma equação de grau, então podemos resolver
Passo 6
Temos que ver qual dos dois sinais que queremos, para isso é só usar a condição inicial, vamos ver o valor de quando
Como o valor de neste ponto, a nossa função tem sinal positivo.