Unicamp, Cálculo 3, 2019.2, P1, Questão 2.
Encontre uma solução para a seguinte equação exata:
Passo 1
Vamos começar lembrando do que é uma equação exata. A forma geral dela é essa aqui:
Mas ela tem uma propriedade especial, que é essa aqui:
Como o enunciado já garantiu que a equação é exata, nem vamos conferir isso. Agora vamos ao que interessa: como a gente faz pra resolver uma e.d.o exata?
Temos que aproveitar uma outra propriedade delas, que é a seguinte: É garantido que existe uma função tal que:
E nesse caso, a solução da e.d.o. é:
Passo 2
Então vamos lá, primeiro temos que identificar quem são e . Pra isso é só comparar as equações:
Ou seja:
Agora a gente já pode começar a procurar . A primeira equação é:
Integrando em relação a :
Aqui é só aplicar as regras da integração de polinômios, não esqueça de colocar a constante no final:
Por que a constante aparece como uma função de ? Bom, já que a gente integrou só em relação a , a “constante” ainda tem todo o direito de depender de .
Acontece mais ou menos a mesma coisa quando você integra em relação a usando a outra equação:
Passo 3
Então tá, ficaram dois candidatos para a função :
Já que a função tem que satisfazer as duas equações ao mesmo tempo, vamos ajustar o e o pra fazer as duas soluções ficarem iguais.
A segunda equação já tem todos os termos da primeira, com exceção do , então vamos usar o pra corrigir isso:
Ok, agora o único jeito de deixar as duas iguais é zerando o :
Beleza, então nossa função final é essa aqui:
E conforme a gente viu lá no passo , a solução da e.d.o.:
Pronto!
Resposta
A solução da e.d.o é .