Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Equação Exata

Ver Teoria
Exercício 571234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556585960616263646566676869707172737475767778798081828384

Enunciado

UFSC, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de EDO - Lista 2, Questão 5f.

5) Verificar que a EDO é exata e resolvê-la.

f) 6 x 5 y 3 + 4 x 3 y 5 d x + 3 x 6 y 2 + 5 x 4 y 4 d y = 0

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão temos que verificar que a EDO 6 x 5 y 3 + 4 x 3 y 5 d x + 3 x 6 y 2 + 5 x 4 y 4 d y = 0 é exata e obter a solução.

Como vamos fazer isso? 🤔

Uma EDO exata é dada pela equação

M x , y d x + N x , y d y = 0

Em que

∂ M x , y ∂ y = ∂ N x , y ∂ x

A solução de uma EDO exata é obtida integrando M x , y com relação a x e somando com uma função g y

S x , y = ∫ M x , y d x + g y = C

Depois derivamos S x , y com relação a y e obtemos g ' y igualando a N x , y

E por fim, integramos g ' y com relação a y para obter g y

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Se 6 x 5 y 3 + 4 x 3 y 5 d x + 3 x 6 y 2 + 5 x 4 y 4 d y = 0 , então M x , y = 6 x 5 y 3 + 4 x 3 y 5 e N x , y = 3 x 6 y 2 + 5 x 4 y 4 .

Verificando se a equação é exata, temos

∂ M x , y ∂ y = ∂ N x , y ∂ x

∂ 6 x 5 y 3 + 4 x 3 y 5 ∂ y = ∂ 3 x 6 y 2 + 5 x 4 y 4 ∂ x

Pelo método de derivação polinomial, temos

18 x 5 y 2 + 20 x 3 y 4 = 18 x 5 y 2 + 20 x 3 y 4

Perfeito! A equação é exata! 😁

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos em busca da solução

S x , y = ∫ M x , y d x + g y = C

S x , y = ∫ 6 x 5 y 3 + 4 x 3 y 5 d x + g y = C

A integral de 6 x 5 y 3 + 4 x 3 y 5 em relação a x é obtida pelo método de integração polinomial, ou seja

∫ 6 x 5 y 3 + 4 x 3 y 5 d x = x 6 y 3 + x 4 y 5

Logo, substituindo em S x , y

S x , y = x 6 y 3 + x 4 y 5 + g y = C

Agora derivamos S com relação a y e igualamos a N para obter g ' y

∂ S x , y ∂ y = ∂ x 6 y 3 + x 4 y 5 ∂ y = 3 x 6 y 2 + 5 x 4 y 4

3 x 6 y 2 + 5 x 4 y 4 + g ' y = 3 x 6 y 2 + 5 x 4 y 4

Isolando g ' y

g ' y = 0

Logo, g y também será 0 .

E finalmente, a solução da EDO será

x 6 y 3 + x 4 y 5 = C

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

x 6 y 3 + x 4 y 5 = C

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas 13 e 14, resolva o problema de valor inicial dado e determine, pelo menos aproximadamente, onde a solução é válida 2 x - y + 2 y - x y ' = 0 , y 1 = 3
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. f ) e x 2 + y 2 xd x + yd y
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. i )- y x 2 + y 2d x + x x 2 + y 2 d y ,x , y ∈ Ω , onde Ω é o conjunto x , y ∈ R 2 y0 ∪ { x , y ∈ R 2 | x0 }
Mostre que existem naturais men para os quais a forma diferencial 3 x m + 1 y n + 1 d x + 2 x m + 2 y nd y É exata.
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. d )( x + y )d x + ( x - y ) d y