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Exercícios Resolvidos de Equação Exata

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Enunciado

Resolva a equação diferencial

( cos ⁡ x cos ⁡ y ) y ' + tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y = 0

Passo 1

Primeiro a gente precisa saber que tipo de equação é essa. Com essa aí temos que manipular um pouco pra ver que ela tem mesmo cara de exata.

( cos ⁡ x cos ⁡ y ) d y d x + tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y = 0

cos ⁡ x cos ⁡ y d y + tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y d x = 0

Agora ela já tá com cara de exata, só vou trocar as posições dos diferenciais para não nos confundirmos depois.

tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y d x + cos ⁡ x cos ⁡ y d y = 0

Agora já estamos prontos pra resolver a equação. Ou melhor a equação já está pronta pra ser resolvida huauha.

Verificando se ela é exata!

Dada tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y d x + cos ⁡ x cos ⁡ y d y = 0 é só olhar e ver que M x ,   y = tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y e que N x , y = cos ⁡ x cos ⁡ y . Logo

∂ M ∂ y = - sen ⁡ x cos ⁡ y = ∂ N ∂ x

Concluímos então que a equação é exata.

Passo 2

Integrando M em relação à x

∫ tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y d x = - ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x + g ( y )

Lembrando que:

ln ⁡ sec ⁡ x = ln ⁡ 1 cos ⁡ x = - ln ⁡ cos ⁡ x

Passo 3

Derive o obtido no passo 2 com relação a y

∂ - ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x + g ( y ) ∂ y = cos ⁡ y cos ⁡ x + g ' ( y )

Passo 4

Compare o obtido no passo 3 com N ( x , y )

cos ⁡ y cos ⁡ x + g ' y = cos ⁡ x cos ⁡ y → g ' y = 0 ∴ g y = 0

Passo 5

Obtenha a função u ( x , y ) inserindo o obtido no passo 4 dentro da função do passo 2

u x , y = - ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x + g y = - ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x

Passo 6

A solução é dada implicitamente por u x , y = c

u = - ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x = C

Resposta

As soluções da EDO são dadas implicitamente pela equação

- ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x = C

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