4) Determinar a EDO exata que tenha como solução geral a equação dada.

a) x^2 * y + cos(2*x) = c

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão, queremos obter a EDO exata cuja solução é dada por x 2 y + cos ⁡ 2 x = c .

E aí, tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Uma EDO exata é dada pela equação

M x , y d x + N x , y d y = 0

Em que

∂ M x , y ∂ y = ∂ N x , y ∂ x

A solução de uma EDO exata é obtida integrando M x , y com relação a x e somando com uma função g y

S x , y = ∫ M x , y d x + g y

Depois derivamos S x , y com relação a y e obtemos g ' y igualando a N x , y

E por fim, integramos g ' y com relação a y para obter g y

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

A solução é dada por x 2 y + cos ⁡ 2 x = c , ou seja, já podemos ver que g y = 0 pois não há uma função de y .

Ou seja, a solução é

S x , y = ∫ M x , y d x

x 2 y + cos ⁡ 2 x = ∫ M x , y d x

Derivando os dois lados com relação a x , temos

M x , y = ∂ x 2 y + cos ⁡ 2 x ∂ x

A derivada de x 2 y é obtida pelo método de derivação polinomial

∂ x 2 y ∂ x = 2 x y

Já a derivada de cos ⁡ 2 x é obtida pela regra da cadeia

∂ cos ⁡ 2 x ∂ x = - 2 s e n 2 x

Logo, M x , y será dado por

M x , y = 2 x y - 2 s e n 2 x

Já encontramos metade da equação! 😉

Passo 3

Agora, se a equação é exata, então

∂ M x , y ∂ y = ∂ N x , y ∂ x

Já temos M x , y , então derivando com relação a y , temos

∂ M x , y ∂ y = ∂ 2 x y - 2 s e n 2 x ∂ y

∂ M x , y ∂ y = 2 x

Substituindo na equação

2 x = ∂ N x , y ∂ x

Integrando os dois lados com relação a x , temos (desconsiderando a constante de integração)

N x , y = ∫ 2 x d x

N x , y = x 2

Logo, a EDO que gera a solução dada será

M x , y d x + N x , y d y = 0

2 x y - 2 s e n 2 x d x + x 2 d y = 0

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

2 x y - 2 s e n 2 x d x + x 2 d y = 0

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