UFSC, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de EDO - Lista 2, Questão 4a.
4) Determinar a EDO exata que tenha como solução geral a equação dada.
a)
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nessa questão, queremos obter a EDO exata cuja solução é dada por .
E aí, tem ideia de como fazemos isso? 🤔
Uma EDO exata é dada pela equação
Em que
A solução de uma EDO exata é obtida integrando com relação a e somando com uma função
Depois derivamos com relação a e obtemos igualando a
E por fim, integramos com relação a para obter
Sacou? Bora começar! 😁
Passo 2
A solução é dada por , ou seja, já podemos ver que pois não há uma função de .
Ou seja, a solução é
Derivando os dois lados com relação a , temos
A derivada de é obtida pelo método de derivação polinomial
Já a derivada de é obtida pela regra da cadeia
Logo, será dado por
Já encontramos metade da equação! 😉
Passo 3
Agora, se a equação é exata, então
Já temos , então derivando com relação a , temos
Substituindo na equação
Integrando os dois lados com relação a , temos (desconsiderando a constante de integração)
Logo, a EDO que gera a solução dada será
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
