Responda as questões abaixo JUSTIFICANDO.

a) Exiba uma equação exata que admita como soluções a família de curvas

y(x) = C(1 + x^2), c ∈ R.

b) Ache a solução particular y(x) quando y(1) = 2 .

Passo 1

a) Olhando para a equação, temos

y x = C 1 + x 2 ⇒ y 1 + x 2 = C

Portanto, a família das curvas dadas por essa equação é o conjunto das curvas de nível da função

F x , y = y 1 + x 2

Parametrizando as curvas como gráficos α x = x , y x temos então

F x , y x = 0

E derivando em relação a x temos a equação exata que procuramos

d F d x + d F d y ⋅ d y d x = 0  

Substituindo os valores ficamos com

- 2 x y 1 + x 2 d x + d y = 0

Passo 2

ii) Usando a condição inicial dada por

y 1 = 2

Temos que

y 1 = C 1 + 1 2 = 2

⇒ 2 C = 2

⇒ C = 1

E portanto a solução procurada é dada por

y x = 1 + x 2

Resposta

i)

- 2 x y 1 + x 2 d x + d y = 0

ii)

y x = 1 + x 2

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