Para cada equação, determine se ela é exata. Se for, encontre a solução:
b)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
Primeiramente, a questão quer saber se a equação é exata ou não. Mas como saber se uma equação diferencial é exata ou não?
Bom, o critério, também conhecido como condição de Euler, é a seguinte:
Uma EDO do tipo:
Será exata se e somente se:
Para o nosso caso, temos a seguinte EDO:
Onde:
Derivando para verificar a condição de Euler, temos:
Opa, elas são iguais. Então, podemos dizer que a EDO é exata!
Agora vamos encontrar sua solução.
Passo 2
Nós sabemos da teoria, que a solução de uma EDO exata é dada implicitamente por:
Para chegar nesse resultado, vamos começar integrando em relação a :
Vamos imaginar que é uma constante:
O é como se fosse uma compensação por integrarmos somente em relação a .
Passo 3
Agora, vamos derivar o resultado obtido no passo 2 em relação a .
E comparar esse resultado com nosso :
Integrando encontramos :
Passo 4
Agora só nos resta obter a função , que nós encontramos no passo 2:
Substituindo :
E achamos nossa solução implícita. Valeu, galera! 😉