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Exercícios Resolvidos de Equação Exata

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Enunciado

Questão 1:

Considere as variáveis x e y relacionadas pela forma diferencial:

y e 2 x y + x d x + α x e 2 x y d y = 0

Encontre o valor de α para que o qual a equação acima seja exata.

Passo 1

Bem, sabemos que uma equação diferencial somente é exata se:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Onde M e N são os termos da equação diferencial:

M = y e 2 x y + x         e             N = α x e 2 x y

Basta calcular as derivadas então e ser feliz com a igualdade obtendo o α , não concorda?

Passo 2

Primeiro, calculemos aqui a derivada de M ...

∂ M ∂ y = ∂ ∂ y y e 2 x y + x =

Como é uma derivação em relação à y , o primeiro termo é o único que sobra, já que o segundo é apenas x considerado constante na integração com relação a y :

∂ M ∂ y = ∂ ∂ y y e 2 x y     →

Aplicando a regra do produto:

∂ M ∂ y = e 2 x y ∂ ∂ y y + y ∂ ∂ y e 2 x y →

Ora, a derivada de y com relação à y é...

∂ M ∂ y = e 2 x y ⋅ 1 + y ∂ ∂ y e 2 x y →

Para calcular essa segunda derivada, cuidado com a regra da cadeia:

∂ M ∂ y = e 2 x y ⋅ 1 + y e 2 x y ⋅ ∂ ∂ y 2 x y →

∂ M ∂ y = e 2 x y ⋅ 1 + y 2 x e 2 x y →

∂ M ∂ y = e 2 x y + 2 x y e 2 x y   →

Logo... Colocando-se em evidência o termo da exponencial...

∂ M ∂ y = e 2 x y 1 + 2 x y

Passo 3

Por conseguinte, calculemos nesse outro passo a derivada do nosso N ...

∂ N ∂ x = ∂ ∂ x α x e 2 x y =

Como α é uma constante, ele pode sair da derivada:

∂ N ∂ x = α ∂ ∂ x x e 2 x y   →

Aplicando-se então a regra do produto...

∂ N ∂ x = α e 2 x y ∂ ∂ x x + x ∂ ∂ x e 2 x y →

∂ N ∂ x = α e 2 x y + x ∂ ∂ x e 2 x y →

E a regra da cadeia...

∂ N ∂ x = α e 2 x y + x e 2 x y ⋅ 2 y →

∂ N ∂ x = α e 2 x y + 2 x y e 2 x y →

∂ N ∂ x = α e 2 x y 1 + 2 x y

Passo 4

Como vimos no passo 1 , essas duas derivadas que obtivemos devem ser iguais:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x   →

e 2 x y 1 + 2 x y = α e 2 x y 1 + 2 x y     →

Logo, para isso ser verdade:

α = 1

Resposta

α = 1

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