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Exercícios Resolvidos de Equação Exata

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Enunciado

Questão 1: Resolva as seguintes equações diferenciais e problemas de valor inicial, conforme seja o caso:

c )   y e x y + 4 y 3 + x e x y + 12 x y 2 - 2 y y ' = 0 ,     y 2 = 1

Passo 1

Primeiro devemos resolver essa EDO:

  y e x y + 4 y 3 + x e x y + 12 x y 2 - 2 y y ' = 0

Infelizmente, não conseguimos separar o x e o y nessa EDO, nem mesmo conseguimos resolver usando os conceitos de EDO de primeira Ordem, pois ela não é Linear (tem um y 3 ali). Mas repare que se considerarmos y ' = d y / d x e “multiplicarmos” tudo por d x ...

  y e x y + 4 y 3 + x e x y + 12 x y 2 - 2 y d y d x = 0     →

  y e x y + 4 y 3 d x + x e x y + 12 x y 2 - 2 y d y = 0

Veja que ela lembra muito uma EDO Exata. Será que ela é?

Passo 2

Bem, para ela ser exata isso aqui tem que acontecer:

M y = N x

Onde

M =   y e x y + 4 y 3                         e

N = x e x y + 12 x y 2 - 2 y

Então:

M y = e x y + y e x y ⋅ x + 12 y 2 =

e x y + x y e x y + 12 y 2

Enquanto isso...

N x = e x y + x e x y ⋅ y + 12 y 2 =

e x y + x y e x y + 12 y 2

Veja que de fato:

M y = N x

Ou seja, trata-se de uma equação exata !

Passo 3

A solução da EDO exata é uma função f x ,   y = C , onde:

f x = M             e           f y = N

Então:

∂ f ∂ x = y e x y + 4 y 3

E

∂ f ∂ y = x e x y + 12 x y 2 - 2 y

Então vamos resolver esse sistema de equações!

Passo 4

Vamos resolver a mais fácil primeiro:

∂ f ∂ x = y e x y + 4 y 3                 →

Integrando os dois lados em relação à x considerando y constante...

f = ∫ y e x y + 4 y 3   d x =

e x y + 4 y 3 x + G y

Essa constante G em relação à x é uma função de y , afinal se calcularmos a derivada de f em relação a x , essa G y desaparece, logo na integração ela ressurge, saca?

Passo 5

Derivando essa f com relação a y ...

f = e x y + 4 y 3 x + G y         →

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y e x y + 4 y 3 x + G y     →

∂ f ∂ y = x e x y + 12 x y 2 + G ' y  

Comparando isso aí então com a equação do passo 3 ...

∂ f ∂ y = x e x y + 12 x y 2 - 2 y

Concluímos que

G ' y = - 2 y

Integrando os dois lados:

G y = ∫ - 2 y d y =

- y 2 + k

Passo 6

Então, a solução da EDO exata é:

f x ,   y = C     →

e x y + 4 y 3 x + G y = C     →

e x y + 4 y 3 x - y 2 + k = C     →

e x y + 4 y 3 x - y 2 = C - k     →

Considerando C - k como uma constante C ...

e x y + 4 y 3 x - y 2 = C  

Substituindo então agora a condição inicial:

y 2 = 1

Então:

e 2 + 4 1 3 ⋅ 2 - 1 2 + k = C   →

e 2 + 7 = C

Logo:

e x y + 4 y 3 x - y 2 = e 2 + 7

Resposta

e x y + 4 y 3 x - y 2 = e 2 + 7

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