Considere o seguinte ,
Verifique que a EDO associada ao dado é exata.
Calcule a solução do ,(use o fato que constante). Depois, responda se a solução calculada é única ou não, justificando sua resposta.
Passo 1
Bom, para verificar que é exata, temos que dada uma EDO:
Precisamos que
Vamos ver se isso acontece com a nossa EDO:
Então temos que:
Logo, ela é exata.
Passo 2
Integrar com relação a
Passo 3
Derive o obtido no passo 2 com relação a
Passo 4
Compare o obtido no passo 3 com
Integrando com relação a :
A gente ignora constantes neste passo.
Passo 5
Obtenha a função inserindo o obtido no passo 4 dentro da função do passo 2
Passo 6
A solução é dada implicitamente por
Passo 7
Vamos usar a condição inicial do problema:
Substituindo:
Logo, a solução é:
Passo 8
Agora vamos ver se a solução é única:
Como já vimos a primeira coisa é escrever a equação isolando a derivada, ou seja, da seguinte forma
Simplificando essa fração:
Passo 9
Agora, devemos identificar . Por comparação a gente tem que
E a derivada com respeito a é:
Não precisa se preocupar muito em simplificar isso.
Passo 10
Nesse passo, devemos determinar onde as funções anteriores são contínuas.
Tanto como sua derivada com relação a são funções contínuas (trigonométrica, polinômio e exponencial) e o denominador é sempre diferentes de zero no conjunto dos reais, o produto das funções contínuas também será função contínua, logo são contínuas em todos os reais.
Passo 11
Como as funções são contínuas para todos os reais, podemos escolher qualquer intervalo que contenha a condição inicial
Só para ilustrar, podemos escolher
Portanto, existe solução e ela é única em algum intervalo que contenha .