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Exercícios Resolvidos de Equação Exata

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Enunciado

UFSC, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de EDO - Lista 2, Questão 5e.

5) Verificar que a EDO é exata e resolvê-la.

e) 2 x y e x 2 - 1 d x + e x 2 d y = 0

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão temos que verificar que a EDO 2 x y e x 2 - 1 d x + e x 2 d y = 0 é exata e obter a solução.

Como vamos fazer isso? 🤔

Uma EDO exata é dada pela equação

M x , y d x + N x , y d y = 0

Em que

∂ M x , y ∂ y = ∂ N x , y ∂ x

A solução de uma EDO exata é obtida integrando M x , y com relação a x e somando com uma função g y

S x , y = ∫ M x , y d x + g y = C

Depois derivamos S x , y com relação a y e obtemos g ' y igualando a N x , y

E por fim, integramos g ' y com relação a y para obter g y

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Se 2 x y e x 2 - 1 d x + e x 2 d y = 0 , então M x , y = 2 x y e x 2 - 1 e N x , y = e x 2 .

Verificando se a equação é exata, temos

∂ M x , y ∂ y = ∂ N x , y ∂ x

∂ 2 x y e x 2 - 1   ∂ y = ∂ e x 2 ∂ x

Pelo método de derivação polinomial e pela regra da cadeia, temos

2 x e x 2 = 2 x e x 2

Perfeito! A equação é exata! 😁

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos em busca da solução

S x , y = ∫ M x , y d x + g y = C

S x , y = ∫ 2 x y e x 2 - 1 d x + g y = C

A integral de 2 x y e x 2 - 1 em relação a x é obtida pelo método de substituição e pelo método de integração polinomial, ou seja

∫ 2 x y e x 2 - 1 d x = ∫ 2 x y e x 2 - 2 x d x = y e x 2 - x 2

Logo, substituindo em S x , y

S x , y = y e x 2 - x 2 + g y = C

Agora derivamos S com relação a y e igualamos a N para obter g ' y

∂ S x , y ∂ y = ∂ y e x 2 - x 2 ∂ y = e x 2

e x 2 + g ' y = e x 2

Isolando g ' y

g ' y = 0

Logo, g y também será 0 .

E finalmente, a solução da EDO será

y e x 2 - x 2 = C

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

y e x 2 - x 2 = C

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