Seja f uma função contínua em um intervalo [ a ,   b ] e sejam u ( x ) e v ( x ) funções diferenciáveis cujos valores estão em [ a ,   b ] . Prove que

d d x ∫ u ( x ) v ( x ) f ( t )   d t   =   f ( v ( x ) )   d v d x   −   f ( u ( x ) )   d u d x  

A fórmula acima é conhecida como Regra de Leibniz.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que provar que

  d d x ∫ u ( x ) v ( x ) f ( t )   d t   =   f ( v ( x ) )   d v d x   −   f ( u ( x ) )   d u d x

Vamos utilizar o teorema fundamental do cálculo para chegar nessa relação.

Então vamos lá!

Passo 2

Temos pelo teorema fundamental do cálculo, que

∫ a x f ( t )   d t = F ( x ) - F ( a )

f ( x ) = d d x ∫ a x f ( t )   d t

Então, se temos

∫ u ( x ) v ( x ) f ( t )   d t = F ( v ( x ) ) - F ( u ( x ) )

Tomando a derivada:

d d x ∫ u ( x ) v ( x ) f ( t )   d t = d d x ( F ( v ( x ) ) - F ( u ( x ) ) )  

Passo 3

Utilizando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia, temos

d d x ∫ u ( x ) v ( x ) f ( t )   d t = d d v F ( v ( x ) ) d v d x - d d u F ( u ( x ) ) d u d x

d d x ∫ u ( x ) v ( x ) f ( t )   d t = f ( v ( x ) ) d v d x - f ( u ( x ) ) d u d x .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da questão.

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