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Exercícios Resolvidos de Equação Exata

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Enunciado

Resolva os seguintes problemas de valor inicial

a) 2 x y d x + x 2 - 1 d y = 0 y 1 = 1

Passo 1

Vamos lá! Pra resolver isso daí, observa que nós temos uma função d x e uma outra d y , certo? Ou seja

M x , y d x + N x , y d y = 0

Opa, opa! Isso nós sabemos ser um indicador de uma equação exata, não é mesmo? Pra ter certeza, vamos aplicar o critério de Euler. Qual é ele mesmo?

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Bora fazer esse teste então:

Passo 2

2 x y d x + x 2 - 1 d y = 0 →   M x , y d x + N x , y d y = 0

M x , y = 2 x y

N x , y = x 2 - 1

∂ M ∂ y = 2 x

∂ N ∂ y = 2 x

Opa,opa! Achamos que ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x , certo? Então temos que é uma equação exata! Vamos seguir o passo a passo pra achar a solução.

Passo 3

Primeiro passo vai ser encontramos

∫ M x , y d x

∫ 2 x y   d x = 2 x 2 2 y + g y = x 2 y + g ( y )

Cuidado para não esquecer a função de y g y ,   que aparece!

Passo 4

Agora vamos precisar derivar esse resultado em relação a x

∂ ∂ y ∫ M x , y d x = ∂ ∂ y x 2 y + g y = x 2 + g ' y

Passo 5

Vamos então igualar isso com o N x , y para descobrir o valor dessa g ' ( x )

∂ ∂ x ∫ M x , y d x = N x , y

x 2 + g ' y = x 2 - 1

g ' y = - 1 → g y = - y

Lembrando que a gente sempre desconsidera a constante quando vai calcular o g y .

Passo 6

Nossa solução pe dada por

c = ∫ M x , y d x = x 2 y + g y

Onde g y vale - y

c = x 2 y - y

Passo 7

Aplicando a consição inicial y 1 = 1

c = 1 2 1 - 1 = 0

c = 0

Resposta

0 = x 2 y - y

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