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Exercícios Resolvidos de Equação Exata

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Enunciado

UFSC, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de EDO - Lista 2, Questão 5c.

5) Verificar que a EDO é exata e resolvê-la.

c) 3 e 3 x y - 2 x + e 3 x y ' = 0

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão temos que verificar que a EDO 3 e 3 x y - 2 x + e 3 x y ' = 0 é exata e obter a solução.

Como vamos fazer isso? 🤔

Uma EDO exata é dada pela equação

M x , y d x + N x , y d y = 0

Em que

∂ M x , y ∂ y = ∂ N x , y ∂ x

A solução de uma EDO exata é obtida integrando M x , y com relação a x e somando com uma função g y

S x , y = ∫ M x , y d x + g y = C

Depois derivamos S x , y com relação a y e obtemos g ' y igualando a N x , y

E por fim, integramos g ' y com relação a y para obter g y

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Se 3 e 3 x y - 2 x + e 3 x y ' = 0 , então reescrevendo y ' como d y d x e multiplicando a equação por d x , temos

3 e 3 x y - 2 x + e 3 x d y d x = 0

3 e 3 x y - 2 x d x + ( e 3 x ) d y = 0

Logo, M x , y = 3 e 3 x y - 2 x e N x , y = e 3 x

Verificando se a equação é exata, temos

∂ M x , y ∂ y = ∂ N x , y ∂ x

∂ 3 e 3 x y - 2 x ∂ y = ∂ e 3 x ∂ x

Pelo método de derivação polinomial e pela regra da cadeia, temos

3 e 3 x = 3 e 3 x

Perfeito! A equação é exata! 😁

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos em busca da solução

S x , y = ∫ M x , y d x + g y = C

S x , y = ∫ 3 e 3 x y - 2 x d x + g y = C

S x , y = ∫ 3 e 3 x y d x - ∫ 2 x d x + g y = C

A integral de 3 e 3 x y em relação a x é obtida pelo método de substituição, ou seja

∫ 3 e 3 x y d x = ∫ 3 e u 3 y d u = y e 3 x

Já a integral de 2 x é obtida pelo método de integração polinomial

∫ 2 x d x = x 2

Logo, substituindo em S x , y

S x , y = y e 3 x - x 2 + g y = C

Agora derivamos S com relação a y e igualamos a N para obter g ' y

∂ S x , y ∂ y = ∂ y e 3 x - x 2 + g y ∂ y = e 3 x

e 3 x + g ' y = e 3 x

Isolando g ' y

g ' y = 0

Logo, g y também será 0 .

E finalmente, a solução da EDO será

y e 3 x - x 2 = C

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

y e 3 x - x 2 = C

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