Determine se a equação dada é exata. Se for, encontre a solução.

j) (y / x + 6x) dx + (ln(x) - 2) dy = 0, x > 0

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial

y x + 6 x d x + ln ⁡ x - 2 d y = 0

Para resolvê-la vamos montar a nossa equação do tipo

M x , y d x + N x , y d y = 0

Ok, mas e agora?

Para verificar se é exata precisamos verificar se

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Se isso foi verificado então teremos uma solução do tipo

u x , y

E que satisfaz

M x , y = ∂ u ∂ x ,   N x , y = ∂ u ∂ y

Beleza?

A ideia aqui é integrar ou M ou N , achar u . Depois derivar em relação à outra variável e comparar para ver qual é a função faltante, integrar e achar a função completa!

Teremos algo do tipo

u x , y = C

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Precisamos resolver essa equação aqui

y x + 6 x d x + ln ⁡ x - 2 d y = 0

Temos que

M = y x + 6 x , ∂ M ∂ y = 1 x

N = ln ⁡ x - 2 , ∂ N ∂ x = 1 x

oba! Temos uma equação exata!

Tudo bem até aqui? Agora precisamos achar nossa solução u !

Passo 3

Agora que sabemos que nossa equação é exata dizemos que

M = y x + 6 x = ∂ u ∂ x

Integrando em relação a x temos

∫ y x + 6 x d x = ∫ ∂ u ∂ x d x

y ln ⁡ x + 3 x 2 + f y = u ( x , y )

Beleza? Agora para descobrir quem é essa constante em y , vamos derivar nossa solução em relação à y e comparar com N !

∂ u ∂ y = ln ⁡ x + f ' y = ln ⁡ x - 2 = N

Assim temos que

f ' y = - 2

Ok?

E agora integrar dos dois lados

∫ d f = ∫ - 2 d y

f y = - 2 y

E retomar nossa solução geral u ( x , y )

y ln ⁡ x + 3 x 2 + f y = u ( x , y )

y ln ⁡ x + 3 x 2 - 2 y = u x , y = C

y ln ⁡ x + 3 x 2 - 2 y = C

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

y ln ⁡ x + 3 x 2 - 2 y = C

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