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Exercícios Resolvidos de Equação Exata

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Enunciado

UFPA – Cálculo I – Listas de Exercícios 01 – Questão 7i

Determine se a equação dada é exata. Se for, encontre a solução.

i ) y   e x y cos ⁡ 2 x - 2 e x y sin ⁡ 2 x + 2 x d x + x e x y cos ⁡ 2 x - 3 d y = 0

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial

y   e x y cos ⁡ 2 x - 2 e x y sin ⁡ 2 x + 2 x d x + x e x y cos ⁡ 2 x - 3 d y = 0

Para resolvê-la vamos montar a nossa equação do tipo

M x , y d x + N x , y d y = 0

Ta, ok?! E agora?

Para verificar se é exata precisamos verificar se

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Se isso foi verificado então teremos uma solução do tipo

u x , y

E que satisfaz

M x , y = ∂ u ∂ x ,   N x , y = ∂ u ∂ y

Beleza?

A ideia aqui é integrar ou M ou N , achar u . Depois derivar em relação à outra variável e comparar para ver qual é a função faltante, integrar e achar a função completa!

Teremos algo do tipo

u x , y = C

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Precisamos resolver essa equação aqui

y   e x y cos ⁡ 2 x - 2 e x y sin ⁡ 2 x + 2 x d x + x e x y cos ⁡ 2 x - 3 d y = 0

Temos que

M = y   e x y cos ⁡ 2 x - 2 e x y sin ⁡ 2 x + 2 x ,

∂ M ∂ y = e x y cos ⁡ 2 x + x y e x y cos ⁡ 2 x - 2 x e x y sin ⁡ 2 x

N = x e x y cos ⁡ 2 x - 3 ,

∂ N ∂ x = e x y cos ⁡ 2 x + x y e x y cos ⁡ 2 x - 2 x e x y sin ⁡ 2 x

oba! Temos uma equação exata!

Tudo bem até aqui? Agora precisamos achar nossa solução u !

Passo 3

Agora que sabemos que nossa equação é exata dizemos que

N = x e x y cos ⁡ 2 x - 3 = ∂ u ∂ y

Integrando em relação a y temos

∫ x e x y cos ⁡ 2 x - 3 d y = ∫ ∂ u ∂ y d y

e x y cos ⁡ 2 x - 3 y + f x = u ( x , y )

Beleza? Agora para descobrir quem é essa constante em x , vamos derivar nossa solução em relação à x e comparar com M !

∂ u ∂ x = y e x y cos ⁡ 2 x - 2 e x y sin ⁡ 2 x + f ' x = M = y   e x y cos ⁡ 2 x - 2 e x y sin ⁡ 2 x + 2 x

Assim

f ' x = 2 x

E agora integrar dos dois lados

f ' y = 2 x = d f d y

∫ d f = ∫ 2 x d x

f x = x 2

E retomar nossa solução geral u ( x , y )

e x y cos ⁡ 2 x - 3 y + f x = u ( x , y )

e x y cos ⁡ 2 x - 3 y + x 2 = u ( x , y )

e x y cos ⁡ 2 x - 3 y + x 2 = u x , y = C

e x y cos ⁡ 2 x - 3 y + x 2 = C

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

e x y cos ⁡ 2 x - 3 y + x 2 = C

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