Calculo 3 – UNICAMP – Exame
Encontre o valor de para o qual a equação dada é exata e depois a resolva usando este valor de :
Passo 1
Vamos a nossa questão! Precisamos descobrir o valor de que torna a nossa EDO exata e depois resolvê-la.
Mas... calma aí. O que é uma EDO exata??? Nosso pequeno problema é saber este conceito!
Mas não fiquem com medo, que é algo bem tranquilo de entendermos. Precisamos começar entendendo o que é uma forma diferencial de uma EDO.
Então, uma EDO está na forma diferencial se ela estiver escrita como . Se compararmos com o enunciado da nossa questão, temos:
Certo! Agora sim!!! Só que, o que isto tem haver com uma EDO ser exata? Então, a chave para esta pergunta está nas nossas funções e . A EDO será exata se, e somente se:
Sacaram?? É bem semelhante a ideia de campos conservativos. Inclusive no método de resolução... Mas deixaremos isto um pouco mais para frente.
Passo 2
Agora que entendemos o que é uma EDO exata, vamos descobrir o valor de que satisfaça a igualdade das derivadas parciais. Portanto, temos:
OBS: lembrando, ao calcularmos uma derivada parcial, consideramos todas outras incógnitas da nossa função como constantes! Logo, se derivamos em relação a , então, tudo que tem é uma constante!
Igualando as derivadas parciais, temos:
E assim resolvemos a primeira parte! Com , temos a seguinte EDO exata:
Passo 3
Agora temos que resolver a EDO exata. Bom, a ideia aqui é fazer uma analogia com campos vetoriais. A solução da nossa EDO será uma função potencial tal que:
Então, temos que fazer as integrais acima e correlacionar elas. Vamos começar pela primeira. Portanto,
Opa. Como assim apareceu uma na nossa integral indefinida? Não era para aparecer uma constate qualquer?
Entãoooo! Lembram da história das derivadas parciais (consideramos as outras variáveis como constantes)? Então! Se estamos integrando em relação a , a variável será uma constante!
OBS: Se a gente tivesse integrado primeiramente em relação a , então, a nossa constante seria uma .
Passo 4
Para finalizarmos a questão, vamos ter que determinar agora quem é este .
Para isto, agora que obtivemos uma , precisamos relacioná-la a função . Agora, ao invés de integrarmos em relação a , vamos derivar parcialmente nossa . Fazemos isto pois:
Sendo assim, temos:
Por fim, vamos integrar essa nossa para encontrarmos e assim finalizarmos a questão! Estamos quase lá! Por fim,
Aleluia! Cuidado para não esquecerem da constante (aqui é apenas um número qualquer, pois a nossa é função de uma única variável). Portanto, a resposta da nossa EDO será:
Como soma de constantes não deixa de ser uma constante, então podemos escrever a equação acima com uma única constante. E assim finalizamos a nossa questão!