Determine as soluções gerais, explicitas ou implícitas, das equações diferenciais

de 1ª ordem acima, com métodos apropriados para cada caso.

(-6x + 2y + 12)dx + (2x + 2y + 4)dy = 0

Passo 1

Já vimos que essa EDO é exata, assim, vamos operar da forma como aprendemos. Assim:

M x , y = - 6 x + 2 y + 12 e N x , y = 2 x + 2 y + 4

Integrando M x , y com relação a x

∫ M x , y d x = ∫ ( = - 6 x + 2 y + 12     ) d x = - 3 x 2 + 2 x y + 12 x + g ( y )

Passo 2

Vamos derivar o obtido no passo 1 com relação a y

∂ - 3 x 2 + 2 x y + 12 x + g ( y ) ∂ y = 2 x + g ' ( y )

Passo 3

Agora vamos igualar o obtido no passo 2 com N ( x , y )

2 x + g ' y = 2 x + 2 y + 4 → g ' y = 2 y + 4

Integrando em relação a y temos

g y = y 2 + 4 y + C

Passo 4

Assim, temos que:

u x , y = - 3 x 2 + 2 x y + 12 x + g y = - 3 x 2 + 2 x y + 12 x   +   y 2 + 4 y + C

Passo 5

-

A solução é dada implicitamente por u x , y = c

u x , y = - 3 x 2 + 2 x y + 12 x + y 2 + 4 y = C  

Resposta

- 3 x 2 + 2 x y + 12 x + y 2 + 4 y = C

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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