PUCRIO – Cálculo 4 – MAT1154 – 2020.2 – G1 – Discursiva
Considere a equação
Encontre tal que a equação acima esteja na forma exata;
Encontre uma solução para a equação utilizando a função encontrada no item anterior;
Prescreva uma condição inicial e encontre a solução do associado.
Dica: considere integração por partes se for preciso calcular a integral de .
Passo 1
O enunciado nos dar uma EDO homogênea e nos diz que quer que ela seja exata e a partir daí pede pra resolver a EDO e fazer o PVI, com isso a primeira coisa que fazer é deixar a EDO bem parecida com o que estamos acostumados a ver de uma EDO exata:
Então vamos começar a resolver, mas pode ficar de boa que eu vou fazer o passo a passo com você!
Passo 2
A primeira coisa que precisamos saber é que uma EDO exata é quando então para descobrir o vamos primeiro derivar o em função de .
Encontramos e sabemos que ele é igual a temos que integrar esse valor em , isto é:
Agora precisamos resolver essa integralzinha.
Passo 3
Vamos resolver essa integral por frações parciais:
Juntando pra conseguir temos que:
Achamos o nosso !!!
Passo 4
Vamos encontrar a solução geral da forma que já estamos acostumados a resolver EDO exata.
Vamos integral em função de :
Agora vamos derivar que acabamos de achar em relação a :
Vamos igualar isso a e teremos:
Com isso temos que:
Nossa resposta é:
Passo 5
Para criar esse PVI precisamos definir um valor para e uma para constante .
Então para nós agora e , então:
Ou seja, nosso PVI será:
Resposta