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Exercícios Resolvidos de Equação Exata

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Enunciado

Nos exercícios de 1 a 6 identifique as equações diferenciais exatas e resolva-as.

4 .     3 x 2 y + e y - e x d x + x 3 + x e y d y = 0

Passo 1

Bom, então nesse exercício temos uma EDO escrita dessa maneira:

M x , y d x + N x , y d y = 0

Para saber se a EDO é exata, precisamos ter:

∂ M x , y ∂ y = ∂ N x , y ∂ x

Beleza? Então façamos isso:

M x , y = 3 x 2 y + e y - e x → ∂ M x , y ∂ y = 3 x 2 + e y

N x , y = x 3 + x e y → ∂ N x , y ∂ x = 3 x 2 + e y

∂ M x , y ∂ y = ∂ N x , y ∂ x

A EDO é exata.

Passo 2

Maneiro, agora vamos resolvê-la. A ideia dessa resolução é você pensar que houve uma derivação implícita para chegar naquela EDO, então a solução é do tipo:

u x , y = C

Então para começar a resolver, a o que a gente faz é integrar M ( x , y ) com respeito a x :

∫ M x , y d x = ∫ 3 x 2 y + e y - e x d x

∫ 3 x 2 y + e y - e x d x = x 3 y + x e y - e x + g y

Lembrando que ao invés de colocar a constante de integração C , a gente escreve a constante como uma função de y (nesse caso, g ( y ) ).

Passo 3

Agora que já integramos com respeito a x , vamos derivar com respeito a y e comparar o resultado com N ( x , y ) :

∂ x 3 y + x e y - e x + g y ∂ y = x 3 + x e y + g ' y

x 3 + x e y + g ' y = x 3 + x e y

g ' y = 0

Integrando para descobrir quem é g ( y ) :

g y = ∫ 0 d y

g y = 0

Lembrando que nesse passo, nós ignoramos a constante de integração, ok?

Passo 4

Show!!! Isso significa que:

u x , y = x 3 y + x e y - e x

E como temos que u x , y = C :

x 3 y + x e y - e x = C

Agora corre pro abraço!!!

Resposta

4 .   x 3 y + x e y - e x = C

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