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Exercícios Resolvidos de Equação Exata

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Enunciado

UFSC, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de EDO - Lista 2, Questão 5a.

5) Verificar que a EDO é exata e resolvê-la.

a) y 2 + 2 x y y ’ = 0

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão temos que verificar que a EDO y 2 + 2 x y y ’ = 0 é exata e obter a solução.

Como vamos fazer isso? 🤔

Uma EDO exata é dada pela equação

M x , y d x + N x , y d y = 0

Em que

∂ M x , y ∂ y = ∂ N x , y ∂ x

A solução de uma EDO exata é obtida integrando M x , y com relação a x e somando com uma função g y

S x , y = ∫ M x , y d x + g y = C

Depois derivamos S x , y com relação a y e obtemos g ' y igualando a N x , y

E por fim, integramos g ' y com relação a y para obter g y

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Temos que começar manipulando a EDO para encontrar M x , y e N x , y .

y 2 + 2 x y y ’ = 0 → y 2 + 2 x y d y d x = 0

Multiplicando a equação por d x , temos

y 2 d x + 2 x y d y = 0

Portanto, M x , y = y 2 e N x , y = 2 x y

Verificando se a equação é exata, temos

∂ M x , y ∂ y = ∂ N x , y ∂ x

∂ y 2 ∂ y = ∂ 2 x y ∂ x

2 y = 2 y

Perfeito! A equação é exata! 😁

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos em busca da solução

S x , y = ∫ M x , y d x + g y = C

S x , y = ∫ y 2 d x + g y = C

A integral de y 2 em relação a x é x y 2 pelo método de integração polinomial, ou seja

S x , y = x y 2 + g y = C

Agora derivamos S com relação a y e igualamos a N para obter g ' y

∂ S x , y ∂ y = ∂ x y 2 + g y ∂ y = 2 x y

2 x y + g ' y = 2 x y

Isolando g ' y

g ' y = 0

Logo, g y também será 0 .

E finalmente, a solução da EDO será

x y 2 = C

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

x y 2 = C

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