Prove que a seguinte equação diferencial é exata e resolva-a:

2 x y 2 + 3 x 2 d x + 4 y 3 + 2 x 2 y d y = 0

Passo 1

Para sabermos se temos uma equação exata, estamos procurando algo nesse formatinho aqui debaixo:

M x , y d x + N x , y d y = 0

Mas qual a relação que precisamos ter entre M e N ?

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Bora fazer esse teste então:

Passo 2

2 x y 2 + 3 x 2 d x + 4 y 3 + 2 x 2 y d y = 0 →   M x , y d x + N x , y d y = 0

M x , y = 2 x y 2 + 3 x 2

N x , y = 4 y 3 + 2 x 2 y

∂ M ∂ y = 4 x y

∂ N ∂ y = 4 x y

Opa,opa! Achamos que ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x , certo? Então temos que é uma equação exata! Vamos seguir o passo a passo pra achar a solução.

Passo 3

Primeiro passo vai ser encontramos

∫ M x , y d x

∫ 2 x y 2 + 3 x 2   d x = 2 y 2 x 2 2 + 3 x 3 3 + g y = x 2 y 2 + x 3 + g ( y )

Cuidado para não esquecer a função de y g y ,   que aparece!

Passo 4

Agora vamos precisar derivar esse resultado em relação a x

∂ ∂ y ∫ M x , y d x = ∂ ∂ y x 2 y 2 + x 3 + g ( y ) = 2 x 2 y + g ' y

Passo 5

Vamos então igualar isso com o N x , y para descobrir o valor dessa g ' ( x )

∂ ∂ y ∫ M x , y d x = N x , y

2 x 2 y + g ' y = 4 y 3 + 2 x 2 y

g ' y = 4 y 3 → g y = y 4

Lembrando que a gente sempre desconsidera a constante quando vai calcular o g y .

Passo 6

Nossa solução é dada por

c = ∫ M x , y d x = x 2 y 2 + x 3 + g ( y )

Onde g y vale y 4

c = x 2 y 2 + x 3 + y 4

Resposta

x 2 y 2 + x 3 + y 4

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