Determine as soluções gerais, explicitas ou implícitas, das equações diferenciais

de 1ª ordem acima, com métodos apropriados para cada caso.

b)

dy/dx = - (4y^2 * x + 2) / (4x^2 * y)

Passo 1

Como já vimos essa EDO é exata, assim, vamos resolver da forma padrão. Assim:

d y d x = - 4 y 2 x + 2 4 x 2 y

- 4 x 2 y d y = 4 y 2 x + 2 d x

4 y 2 x + 2 d x + 4 x 2 y d y = 0

M x , y = 4 y 2 x + 2 e N x , y = 4 x 2 y

Passo 2

Vamos integrar M x , y com relação a x

∫ M x , y d x = ∫ 4 x y 2 + 2     d x = 2 x 2 y 2 + 2 x + g ( y )

Passo 3

Vamos derivar o obtido no passo 2 com relação a y

∂ 2 x 2 y 2 + 2 x + g ( y ) ∂ y = 4 x 2 y + g ' ( y )

Passo 4

Agora, vamos comparar o obtido no passo 3 com N ( x , y )

4 x 2 y + g ' y = 4 x 2 y → g ' y = 0

Integrando em relação a y temos:

g y = C

Passo 5

Agora vamos escrever a função u ( x , y ) inserindo o obtido no passo 4 dentro da função do passo 2  

u x , y = 2 x 2 y 2 + 2 x + g ( y ) = 2 x 2 y 2 + 2 x + C

Passo 6

A solução é dada implicitamente por u x , y = c

u ( x , y ) = 2 x 2 y 2 + 2 x + C = C

Resposta

C = x 2 y 2 + x

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