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Exercícios Resolvidos de Equação Exata

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Enunciado

Equações Exatas e Quase Exatas

Verifique que a equação é exata e resolva-a

2 x y - 3 y 2 x 4 d x + 2 y x 3 - x 2 y 2 + 1 y d y = 0

Passo 1

Bem, ele disse que é para ver que essa equação é exata, então vamos fazer isso e resolver essa EDO exata. A cara da equação exata é

M x , y d x + N x , y d y = 0

Então temos

M x , y = 2 x y - 3 y 2 x 4

E

N x , y = 2 y x 3 - x 2 y 2 + 1 y

Vamos usar o critério ode Euler e ver se ∂ M ∂ y é igual a ∂ N ∂ x

∂ M ∂ y = - 2 x y 2 - 6 y x 4

E

∂ N ∂ x = - 6 y x 4 - 2 x y 2

E acabamos de ver que esses caras são iguais, então verificamos que essa EDO é exata.

Passo 2

Vamos resolver essa equação exata

A primeira coisa que fazemos é integrar M em relação a x ...

u x , y = ∫ M x , y d x = ∫ 2 x y - 3 y 2 x 4 d x

u x , y = ∫ 2 x y - 3 y 2 x 4 d x = x 2 y + y 2 x 3 + g y

Passo 3

Ok, esse u x , y será nossa solução, mas temos uma expressão g y que a gente não conhece. Para encontrá-la, vamos derivar o que achamos em relação a y :

∂ u ∂ y = - x 2 y 2 + 2 y x 3 + g ' y

Comparamos essa expressão com N x , y para encontrar a expressão da derivada:

d u d y = N x , y

2 y x 3 - x 2 y 2 + g ' y = 2 y x 3 - x 2 y 2 + 1 y

Assim, temos:

g ' y = 1 y

Portanto, para encontrar a expressão de g y , integramos: ∫ g ' y d y = ∫ d y y = 2 y 1 / 2

Assim mesmo sem a constante, pois já aparecerá na solução final.

Passo 4

A solução da nossa equação exata vai ser dada de forma implícita por

u x , y = ∫ M x , y d x = C

Substituindo a expressão que encontramos para g y :

∫ M x , y d x = x 2 y + y 2 x 3 + g y

u x , y = ∫ M x , y d x = x 2 y + y 2 x 3 + 2 y 1 / 2 = C

Resposta

y 2 x 3 + x 2 y + 2 y 1 / 2 = C

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