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Exercícios Resolvidos de Equação Exata

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Enunciado

Puc Rio - 2019.1; G1 de Cálculo 4

Questão 1 (Justifique todas as suas respostas):

Encontre o valor de b para o qual a equação dada é exata e depois a resolva usando este valor de b .

y e 2 x y + x d x + b x e 2 x y d y = 0

Passo 1

Ora, uma equação Exata tem esse formato aqui...

M d x + N d y = 0

E ela só será exata mesmo se essa condição aqui estiver ok:

∂ ∂ y M = ∂ ∂ x N

No nosso caso...

y e 2 x y + x d x + b x e 2 x y d y = 0         →             M = y e 2 x y + x           e               N = b x e 2 x y

Então, no nosso caso, para saber quem é b para a equação ser exata, vamos aplicar a condição da EDO...

∂ ∂ y y e 2 x y + x = ∂ ∂ x b x e 2 x y   →

Derivando parcialmente em ambos os lados se lembrando de que a derivada parcial em relação à y deve ser feita considerando x como constante (e vice versa)! Aplicando então a regra do produto...

e 2 x y ∂ ∂ y y + y ∂ ∂ y e 2 x y = e 2 x y ∂ ∂ x b x + b x ∂ ∂ x e 2 x y   →

Derivando agora...

e 2 x y + y e 2 x y ⋅ 2 x = b e 2 x y + b x e 2 x y ⋅ 2 y   →

Dando uma arrumadinha nisso aí...

e 2 x y + 2 y x e 2 x y = b e 2 x y + 2 b y x e 2 x y

Ora, b só pode ser então...

b = 1

Passo 2

A resposta de uma EDO exata pode ser dada pela expressão...

u x ,   y = ∫ M   d x + h y →

Onde h y é uma função que vamos determinar daqui a pouco, enquanto que u x ,   y deve ser 0 para obtermos a resposta final!

Substituindo...

u x ,   y = ∫ y e 2 x y + x   d x + h y   →

E integrando, lembrando que para uma integral em x , devemos considerar a outra variável constante...

u x ,   y = y ∫ e 2 x y   d x + ∫ x   d x + h y   →

Integrando...

u x ,   y = y e 2 x y 2 y + x 2 2 + h y   →

u x ,   y = 1 2 e 2 x y + x 2 2 + h y  

Passo 3

Para determinar o h y devemos derivar a resposta anterior em relação à y e depois igualar a N ...

∂ ∂ y u x ,   y = N

Então...

∂ ∂ y 1 2 e 2 x y + x 2 2 + h y = x e 2 x y   →

∂ ∂ y 1 2 e 2 x y + ∂ ∂ y x 2 2 + ∂ ∂ y h y = x e 2 x y   →

Aplicando novamente as derivadas parciais...

1 2 e 2 x y ⋅ 2 x + h ' y = x e 2 x y   →

Ou seja...

x e 2 x y + h ' y = x e 2 x y   →

h ' y = 0

Quem é a função cuja derivada é nula? ISSO! Uma constante k :

h y = k

Passo 4

Então...

u x ,   y = 1 2 e 2 x y + x 2 2 + h y   →

u x ,   y = 1 2 e 2 x y + x 2 2 + k     →

Mas lembre-se, a resposta de uma EDO exata é sempre dada considerando u como nula...

1 2 e 2 x y + x 2 2 + k = 0

Resposta

b = 1

1 2 e 2 x y + x 2 2 + k = 0

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