Calculo 4 – UFPE – 1° EE
Resolve as seguintes equações diferenciais. No caso da letra a), resolve o problema de valor inicial associado.
Passo 1
Antes de começarmos a resolver a nossa EDO, percebam que a EDO pode ser escrita da forma:
Em que e . Dentre os casos de EDO de primeira ordem estudados, esta questão está se parecendo bastante com uma EDO exata!
Precisamos confirmar este fato, pois é ele quem vai deixar claro a forma que devemos trabalhar para resolvermos a questão.
Portanto, vamos checar as derivadas parciais dessas funções e . Logo,
Como ambas as derivadas parciais são iguais, temos uma EDO exata!
Passo 2
Agora que sabemos que a nossa EDO é exata, precisamos encontrar uma função que é a sua solução. O que sabemos dessa função é que:
Se as derivadas parciais são iguais as funções e , então,
Vamos então escolher integrar e verificar o que obtemos. Logo,
Estamos quase lá! Ao integrarmos em relação a , a nossa constante obtida foi uma função de . Para finalizarmos a questão, só precisamos descobrir quem é essa constante!
Passo 3
E agora, como que descobrimos quem é essa função ?
Simples. Vamos utilizar as informações que deixamos de lado até agora!
Nós não sabemos que a derivada parcial é igual a função ? Vamos trabalhar com esta informação agora! Então, temos:
Portanto, . Logo, a nossa função é dada por:
Como queremos esboçar todas as possíveis soluções para a EDO, vamos igualar a uma constante C. Portanto, a solução da EDO é: