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Exercícios Resolvidos de Equação Exata

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Enunciado

UFSC, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de EDO - Lista 2, Questão 5b.

5) Verificar que a EDO é exata e resolvê-la.

b) 1 x d y - y x 2 d x = 0

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão temos que verificar que a EDO 1 x d y - y x 2 d x = 0 é exata e obter a solução.

Como vamos fazer isso? 🤔

Uma EDO exata é dada pela equação

M x , y d x + N x , y d y = 0

Em que

∂ M x , y ∂ y = ∂ N x , y ∂ x

A solução de uma EDO exata é obtida integrando M x , y com relação a x e somando com uma função g y

S x , y = ∫ M x , y d x + g y = C

Depois derivamos S x , y com relação a y e obtemos g ' y igualando a N x , y

E por fim, integramos g ' y com relação a y para obter g y

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Se 1 x d y - y x 2 d x = 0 , M x , y = - y x 2 e N x , y = 1 x

Verificando se a equação é exata, temos

∂ M x , y ∂ y = ∂ N x , y ∂ x

∂ - y x 2 ∂ y = ∂ 1 x ∂ x

- 1 x 2 = - 1 x 2

Perfeito! A equação é exata! 😁

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos em busca da solução

S x , y = ∫ M x , y d x + g y = C

S x , y = ∫ - y x 2 d x + g y = C

A integral de - y x 2 em relação a x é obtida pelo método de integração polinomial, ou seja

∫ - y x 2 d x = y x

logo

S x , y = y x + g y = C

Agora derivamos S com relação a y e igualamos a N para obter g ' y

∂ S x , y ∂ y = ∂ y x + g y ∂ y = 1 x

1 x + g ' y = 1 x

Isolando g ' y

g ' y = 0

Logo, g y também será 0 .

E finalmente, a solução da EDO será

y x = C

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

y x = C

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