A solução da equação diferencial (e^x * y - sen(x)) dx + (sen(y) + e^x) dy = 0 é

( ) sen(x) + cos(y) + e^x

( ) cos(y) - cos(x) + y

( ) sen(y) - cos(x) + y * e^x

( ) sen(x) - cos(x) + e^x

( ) cos(x) - cos(y) + y * e^x

Passo 1

Opaa, vamos lá! A questão quer que a gente resolva a equação diferencial. Vamos primeiro ver se ela é uma EDO exata para sabermos como vamos resolvê-la.

M x , y = e x y - sen ⁡ x → d M d y = e x

N x , y = sen ⁡ y   +   e x → d N d x = e x

Como as derivadas não são iguais, ou seja, d M d y = d N d x , então ela é uma EDO exata.

Para resolvê-la, vamos usar o método para equação exata.

A solução de uma equação exata é dada implicitamente por:

u x , y = c

Vamos então em busca dessa solução.

Passo 2

Agora, que já sabemos que a função exata vamos para o próximo passo que é integrar a função M ( x , y ) com relação a x . Aí vai ficar assim:

∫ M ( x , y ) d x = ∫ e x y - sen ⁡ x d x = e x y + cos ⁡ x + g ( y )

Lembrando, que g ( y ) é uma função que depende apenas de y . Logo ao derivarmos parcialmente em relação a x , toda função que dependesse apenas de y foi tratada como constante.

Passo 3

Visto isso, o próximo passo é derivar em relação a y o resultado que obtivemos acima.

d e x y + cos ⁡ x + g y d y = e x + g ' ( y )

Passo 4

Agora, a gente precisa comparar esse valor encontrado com a função N ( x , y )

N x , y = sen ⁡ y   +   e x = e x + g ' ( y )

Então, conseguimos descobrir a função g y da seguinte forma:

sen ⁡ y = g ' ( y )

Podemos integrar dos dois lado em relação a y :

∫ sen ⁡ y d y = ∫ g ' ( y ) d y →   - cos ⁡ y = g ( y )

Com isso, conseguiremos chegar na nossa solução:

u x , y = ∫ M x , y d x

Logo,

u x , y = e x y + cos ⁡ x - cos ⁡ y

Gente, equação exata para ser mais complicado do que realmente é. São alguns passos para seguir, mas cada um deles é simples e fazendo direitinho a gente chega na nossa solução implícita. É legal ir treinando que os passos vão ficar cada vez mais naturais para resolver.

Resposta

u x , y = e x y + cos ⁡ x - cos ⁡ y

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