Determine explicitamente, ou indique implicitamente, a solução do problema de

valor inicial para cada equação diferencial de 1ª ordem acima, com a condição inicial y(x₀) = y₀ :

(-6x + 2y + 12)dx + (2x + 2y + 4)dy = 0

Passo 1

Bom, vamos ver se é exata:

∂ ( - 6 x + 2 y + 12 ) ∂ y = 2

∂ 2 x + 2 y + 4 ∂ x = 2

Ótimo, é exata!

Passo 2

Beleza, agora vamos integrar ( - 6 x + 2 y + 12 ) com relação a x e 2 x + 2 y + 4 com relação a y :

∫ ( - 6 x + 2 y + 12 ) d x = - 3 x 2 + 2 x y + 12 x + f ( y )

∫ 2 x + 2 y + 4 d y = 2 x y + y 2 + 4 y + f ( x )

Comparando:

f y = y 2 + 4 y

f x = - 3 x 2 + 12 x

Então x e y podem ser definidos implicitamente como:

f x , y = 2 x y + y 2 + 4 y - 3 x 2 + 12 x

Passo 3

Substituindo o par x 0 , y 0 na solução encontrada no Passo 2:

- 3 x 0 2 + 2 x 0 y 0 + 12 x 0 + y 0 2 + 4 y 0 = C

Resposta

C = - 3 x 0 2 + 2 x 0 y 0 + 12 x 0 + y 0 2 + 4 y 0

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