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Exercícios Resolvidos de Equação Exata

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Enunciado

Questão 1: Resolva as seguintes equações diferenciais ou problemas de valor inicial, conforme seja o caso.

b )   1 1 + y 2 + cos ⁡ x - 2 x y y ' = y y + sin ⁡ x ,     y 0 = 1

Passo 1

Essa EDO está com muita cara de ser exata não está? Então vamos verificar!

1 1 + y 2 + cos ⁡ x - 2 x y y ' = y y + sin ⁡ x →

Lembrando que y ' = d y / d x ...

1 1 + y 2 + cos ⁡ x - 2 x y d y d x = y y + sin ⁡ x →

E passando esse d x para o outro lado “multiplicando”...

1 1 + y 2 + cos ⁡ x - 2 x y d y = y y + sin ⁡ x d x   →

y y + sin ⁡ x d x - 1 1 + y 2 + cos ⁡ x - 2 x y d y = 0

Se chamarmos...

M x ,   y = y y + sin ⁡ x

N x ,   y = - 1 1 + y 2 + cos ⁡ x - 2 x y

E derivarmos parcialmente M com relação a y e N com relação a x ...

M y = y + sin ⁡ x + y = 2 y + sin ⁡ x

N x = - - sin ⁡ x - 2 y = 2 y + sin ⁡ x

Podemos ver que essas duas coisas são iguais!

N x = M y

Logo, de fato trata-se de uma EDO exata !

Passo 2

Ora a solução de uma Edo exata é da forma u x ,   y = 0 , onde podemos encontrar a u fazendo essa integração aqui...

u x ,   y = ∫ M x ,   y d x + G y

Onde G y é uma constante de integração em relação à x (variável dentro da integral) enquanto que ela é uma função da outra variável que não estamos integrando... O y :

u x ,   y = ∫ y y + sin ⁡ x d x + G y →

u x ,   y = ∫ y 2 + y sin ⁡ x d x + G y →

Integrando considerando o y constante perante x ...

u x ,   y = y 2 x - y cos ⁡ x + G y

Para encontrar essa função G y   agora, venha comigo...

Passo 3

Podemos derivá-la com relação à y e depois comparar a nossa função N x ,   y que a gente não utilizou...

u y x ,   y = ∂ ∂ y y 2 x - y cos ⁡ x + G y →

u y x ,   y = 2 y x - cos ⁡ x + G ' y

Logo...

N x ,   y = - 1 1 + y 2 + cos ⁡ x - 2 x y   →

N x ,   y = 2 y x - cos ⁡ x - 1 1 + y 2  

Comparando, percebemos que G ' y só pode ser...

G ' y = - 1 1 + y 2   →

Integrando...

G y = - arctan ⁡ y + C

Concluímos então que a nossa solução é...

u x ,   y = y 2 x - y cos ⁡ x - arctan ⁡ y + C = 0

Passo 4

Para encontrar essa constante C , podemos aplicar a condição inicial...

y 2 x - y cos ⁡ x - arctan ⁡ y = C

y 0 = 1   →

1 2 0 - 1 cos ⁡ 0 - arctan ⁡ 1 = C →

C = 0 - 1 - π 4

Então o resultado final finalmente é...

y 2 x - y cos ⁡ x - arctan ⁡ y = - 1 - π 4

Resposta

y 2 x - y cos ⁡ x - arctan ⁡ y = - 1 - π 4

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