Equações Exatas e Quase Exatas
Considere a equação diferencial
- Determine todas as funções que tornam exata a equação diferencial
- Encontre a solução geral da equação diferencial usando a achada no item .
Passo 1
Ele quer que essa função seja Exata, para isso vamos usar o critério de Euler sabendo que e . A função é sempre a que multiplica e a função é sempre a que multiplica .
Como queremos para ela ser exata vamos ter
Isso nos diz que
Passo 2
Vamos agora resolver essa equação exata, vamos passar a ter e
Integrando em relação a
Então já achamos, mais ou menos, a que tem derivada parcial em relação a igual a e tem derivada parcial em relação a igual a . Só precisamos saber quem é essa “constante” que apareceu na integral que depende de .
Passo 3
Vamos derivar em relação a e comparar com
Comparando com
Logo
Que integrando obtemos
Passo 4
Logo que define implicitamente as soluções da equação dada pela forma
Resposta
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