Teste 5: Considere a equação

M x ,   y d x + N y ,   x d y = 0

Onde M ,   N são funções C 1 R 2 . Seja μ = μ x ,   y ∈ C 1 R 2 um fator integrante da equação e f = f x ,   y um potencial correspondente, ou seja: f é derivável e ∇ f = μ M ,   μ N . Qual das funções abaixo é outro fator integrante para a equação diferencial?

  1. e μ + f
  2. e f
  3. f e μ
  4. e μ f
  5. μ e f

Passo 1

Pow, eu não sei quanto a você, mas eu estou cismado que é a letra E! Vamos conferir? Bem primeiro sabemos que μ é um fator integrante, então ele torna a Edo exata:

μ M x ,   y d x + μ N y ,   x d y = 0

Se essa EDO é exata, então...

μ M x ,   y y = μ N y ,   x x

Aplicando a regra do produto...

μ y M + μ M y = μ x N + μ N x

Passo 2

De forma análoga, se μ e f é fator integrante...

μ e f M x ,   y d x + μ e f N y ,   x d y = 0

Logo, a EDO exata fica tem que ter isso aqui:

μ y e f + μ e f f y M + M y μ e f = μ x e f + μ e f f x N + N x μ e f     ?

Será que isso é verdade?

M μ y e f + M μ e f f y + M y μ e f = N μ x e f + N μ e f f x + N x μ e f →

M μ y + M μ f y + M y μ = N μ x + N μ f x + N x μ →

Como μ y M + μ M y = μ x N + μ N x ...

M μ f y = N μ f x →

M f y = N f x

Bem, sabendo que o gradiente é ∇ f = μ M ,   μ N = f x ,   f y ...

M μ N = N μ M  

E isso é verdade! Então acertamos!

Resposta

e )   μ e f

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