Resolva a seguinte equação diferencial ou problema de valor inicial conforme caso abaixo:
Passo 1
O problema não nos deu condições de valor inicial. Então, vamos ter uma constante indeterminada no final.
Temos aqui uma equação com e separados e com funções multiplicando os dois. Assim temos uma equação na forma:
Então, podemos verificar se é uma função exata. Para isso, começamos usando o critério de Euler:
Para isso, vamos começar derivando:
Como estamos derivando em relação a , toda função de se comporta como uma constante, então:
Agora vamos derivar N em relação a . Analogamente, vamos ter:
Então, temos:
Ou seja, é uma equação exata!
Passo 2
Como temos aqui uma equação exata, a solução vai ser dada implicitamente por:
Então, vamos precisar calcular essa integral. Para isso temos:
Vamos separar essas integrais em duas:
O pode sair da integral, porque estamos integrando em relação a . Beleza, então para primeira integral temos o e sua derivada aparecendo marotamente ali, então podemos fazer a substituição:
Portanto, vamos ter:
Deixamos sem a “constante” por enquanto, já voltamos para ela. Vamos para próxima integral:
Assim, vamos ter:
Agora uma coisa muito importante! Vai sempre aparecer uma função de ao final do cálculo da integral! Isso, porque estamos integrando em relação a , então temos ali aquele .
Além disso, para completar a solução, precisamos determinar esse . Fazemos isso comparando:
Passo 3
Então vamos derivar:
Passo 4
E então vamos comparar:
Comparando as duas expressões, ficamos com:
Passo 4
Então, encontramos integrando :
Aqui não precisamos colocar a constante. Ela vai aparecer no final.
Passo 5
Legal, agora já podemos escrever nossa solução: