( i ) Determine todas as funções f : I ⊂ R → R que tornam exata a equação diferencial y 2 sen ⁡ x d x + y f x d y = 0

i i Considere a função f tal que f 0 = - 1 e encontre a solução geral da equação dada em ( i )

Passo 1

( i ) Então a EDO é a seguinte:

y 2 sen ⁡ x d x + y f x d y = 0

Definimos como:

P x , y = y 2 sen ⁡ x Q x , y = y f ( x )

A ideia para a EDO ser exata é de que:

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

Temos que :

∂ P ∂ y = 2 y sen ⁡ x

∂ Q ∂ x = y f ' x

Igualando:

y f ' x = 2 y sen ⁡ x

Isolando f ' x :

f ' x = 2 sen ⁡ x

Então:

f x = ∫ 2 sen ⁡ ( x ) d x = - 2 cos ⁡ x + C

Assim ficou:

f x = - 2 cos ⁡ x + C ,     C ∈ R

Passo 2

( i i ) Substituindo a condição f 0 = - 1

f 0 = - 2 cos ⁡ 0 + C = - 1 → C = 1

Assim:

f x = - 2 cos ⁡ x + 1

Substituindo isso na EDO:

y 2 sen ⁡ x d x + y ( - 2 cos ⁡ x + 1 ) d y = 0

Devemos agora solucionar essa EDO, sabemos que, por definição:

Daí temos que:

∂ ϕ ∂ x = y 2 sen ⁡ x

∂ ϕ ∂ y = y - 2 cos ⁡ x + 1

Utilizando a primeira:

∂ ϕ ∂ x = y 2 sen ⁡ x → ϕ = ∫ y 2 sen ⁡ ( x ) d x = - y 2 cos ⁡ x + K ( y )

Derivando ϕ com relação a y :

∂ ϕ ∂ y = - 2 y cos ⁡ x + K ' ( y )

Comparando com a ∂ ϕ ∂ y encontrada anteriormente:

- 2 y cos ⁡ x + y = - 2 y cos ⁡ x + K ' ( y )

Concluímos que:

K ' y = y → K ( y ) = y 2 2  

Assim ficou:

ϕ = - y 2 cos ⁡ x + y 2 2 = C

- ''

Resposta

- y 2 cos ⁡ x + y 2 2 = C

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