Encontre a solução geral da equação diferencial:
Passo 1
Olha só, temos funções de no meio do nosso problema. Então não temos aqui uma EDO linear. Mas aqui, se multiplicarmos tudo por , vamos ter:
Ou seja, uma equação na forma:
Com:
E temos uma equação que poder ser uma equação exata. Vamos verificar isso.
Passo 2
Para verificar se uma equação é exata, usamos o critério de Euler que diz que se:
Então, temos uma equação exata. Assim, vamos verificar:
Opa, olha só! As duas derivadas deram iguais, então temos de fato uma equação do tipo exata!
Passo 3
Como se trata de uma equação exata, a solução vai ser dada implicitamente por:
Assim, vamos calcular essa integral. Como estamos integrando em relação a , tudo que for é considerando como se fosse uma constante e também, por conta disto, vai aparecer uma função de no resultado:
Passo 4
Não podemos simplesmente substituir essa integral com o valor de ainda a determinar. Para encontrar sua expressão, usamos o fato de que:
Então, vamos derivar o que encontramos no passo anterior em relação a para poder comparar:
Assim, comparando, temos:
Passo 5
Então, a partir da derivada encontramos integrando:
Deixamos assim mesmo, sem a constante.
Passo 6
Dessa maneira, temos:
Logo, nossa solução vai ser:
E é isso!