Para cada uma das EDOs a seguir, verifique que ela é exata e então determine a sua solução geral.

(8) (1 / y + sen x) dx - (x / y^2) dy = 0

Passo 1

Eaew, belezinha?

Primeiro temos que verificar que a EDO é exata

  ( 1 y +   s e n   x )     d x   −   x y 2 d y = 0  

Sendo que, para uma EDO do tipo:

M ( x ,   y ) d x + N ( x ,   y ) d y = 0

é exata quando

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

E sua solução obedece a relação:

∫ M ( x ,   y ) d x + ∫ [ N ( x ,   y ) - ∂ ∂ y ∫ M ( x ,   y ) d x ] d y = C

Então, identificando

M ( x ,   y ) = ( 1 y +   s e n   x ) ;

N ( x ,   y ) = - x y 2 .

Vamos verificar que a EDO é exata e obter a solução geral. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos calcular as derivadas parciais:

∂ M ∂ y = ∂ ∂ y ( 1 y +   s e n   x ) = - 1 y 2

∂ N ∂ x = ∂ ∂ x ( - x y 2 ) = - 1 y 2

Então, temos que a EDO é exata, pois

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x .

Passo 3

Assim, podemos começar a obter a solução. Primeiro vamos resolver a integral:

∫ M ( x ,   y ) d x = ∫ ( 1 y +   s e n   x ) d x

Resolvendo as integrais simples, temos que

∫ M ( x ,   y ) d x = x y -   c o s   x .

Passo 4

O próximo passo será resolver a derivada parcial:

∂ ∂ y ∫ M ( x ,   y ) d x = ∂ ∂ y ( x y -   c o s   x )

∂ ∂ y ∫ M ( x ,   y ) d x =   - x y 2

Então, agora podemos resolver a integral:

∫ [ N ( x ,   y ) - ∂ ∂ y ∫ M ( x ,   y ) d x ] d y = ∫ [ - x y 2   + x y 2 ] d y = 0 .

Passo 5

Agora vamos substituir na relação para a solução geral:

∫ M ( x ,   y ) d x + ∫ [ N ( x ,   y ) - ∂ ∂ y ∫ M ( x ,   y ) d x ] d y = C

x y -   c o s   x + 0 = C

Assim, temos a solução:

x y -   c o s   x + C = 0 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

x y -   c o s   x + C = 0 .

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