Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Equação Exata

Ver Teoria
Exercício 831234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818284

Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 2, Questão 3.8

Sejam f   :   [ − 1 ,   3 ]   →   R contínua com f ( x )   ≤   0 , para todo x   ∈   [ − 1 ,   3 ] ,

A   =   { ( x ,   y )   ∈   R 2   :   − 1   ≤   x   ≤   3   e   y   ≥   f ( x ) }   e B   =   { ( x ,   y )   ∈   R 2 :   − 1   ≤   x   ≤   3   e   y   ≤   x 2   +   3 }

tais que a área de A ∩ B seja igual a 23. Calcule   ∫ - 1 3 f ( x )   d x

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que determinar a integral

  ∫ - 1 3 f ( x )   d x

Sabemos que a área A ∩ B é igual a 23, sendo essa dada pela diferença das integrais:

A A   ∩   B = ∫ - 1 3 ( x 2   +   3 ) d x - ∫ - 1 3 f ( x )   d x

Pois,

A   =   { ( x ,   y )   ∈   R 2   :   − 1   ≤   x   ≤   3   e   y   ≥   f ( x ) }   e B   =   { ( x ,   y )   ∈   R 2 :   − 1   ≤   x   ≤   3   e   y   ≤   x 2   +   3 } .

Então a região B está abaixo da curva x 2   +   3 e a região A está acima da curva   f ( x ) .

Então vamos lá!

Passo 2

Temos que

A A   ∩   B = ∫ - 1 3 ( x 2   +   3 ) d x - ∫ - 1 3 f ( x )   d x = 23

Então vamos isolar a integral de nosso interesse

∫ - 1 3 f ( x )   d x = ∫ - 1 3 ( x 2   +   3 ) d x - 23

Passo 3

Agora, com essas informações, podemos resolver a integral e obter o resultado desejado:

∫ - 1 3 f ( x )   d x = ∫ - 1 3 ( x 2   +   3 ) d x - 23 = ( x 3 3 + 3 x ) | - 1 3 - 23

∫ - 1 3 f ( x )   d x = ( 27 + 1 3 + 9 + 3 ) - 23 = 28 3 - 11 = - 5 3 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ - 1 3 f ( x )   d x = - 5 3 .

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas 13 e 14, resolva o problema de valor inicial dado e determine, pelo menos aproximadamente, onde a solução é válida 2 x - y + 2 y - x y ' = 0 , y 1 = 3
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. f ) e x 2 + y 2 xd x + yd y
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. i )- y x 2 + y 2d x + x x 2 + y 2 d y ,x , y ∈ Ω , onde Ω é o conjunto x , y ∈ R 2 y0 ∪ { x , y ∈ R 2 | x0 }
Mostre que existem naturais men para os quais a forma diferencial 3 x m + 1 y n + 1 d x + 2 x m + 2 y nd y É exata.
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. d )( x + y )d x + ( x - y ) d y