Resolva as seguintes equações diferenciais ou problemas de valor inicial, conforme seja o caso.

b) x 3 + y x + y 2 + ln ⁡ x y ' = 0 ,     x > 0

Passo 1

Cara, essa EDO está bem estranha. Ela não linear e não parece separável também. Uma boa é a gente testar se consegue colocar ela na forma de uma EDO exata. Fazemos assim:

x 3 + y x + y 2 + ln ⁡ x y '

x 3 + y x + y 2 + ln ⁡ x d y d x = 0

x 3 + y x d x + y 2 + ln ⁡ x d y = 0

Isso parece com

M   d x + N   d y = 0

Que é a forma geral de uma EDO exata. A gente pode tentar resolver ela por esse método, então, tá?Vem!

Passo 2

Primeiro, a gente compara essas duas equações:

x 3 + y x d x + y 2 + ln ⁡ x d y = 0

M   d x + N   d y = 0

E diz que

M = x 3 + y x ,     N = y 2 + ln ⁡ x

Para ela ser exata, precisamos que:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Vamos calcular essas derivadas:

∂ M ∂ y = 1 x

∂ N ∂ x = 1 x

Ih, vemos que essas duas coisas são iguais. Então a gente tem uma EDO exata mesmo. Bora resolver!

Passo 3

Para isso, fazemos a integral de M em relação a x .

U x , y = ∫ M d x = ∫ x 3 + y x d x

Vamos considerar que essa função de y é uma constante:

U x , y = ∫ M d x = x 4 4 + y ln ⁡ x + g y

Obs: esse g y aparece, porque uma função de y   é constante em relação a x , aí isso é como se fosse aquele C de integral indefinida, tá?

Aí a gente deriva isso que achou em relação a y :

∂ x 4 4 + y ln ⁡ x + g y ∂ y = ln ⁡ x + g ' y

Passo 4

Vamos comparar isso que a gente achou com N :

N = y 2 + ln ⁡ x

Comparando, vemos que:

g ' y = y 2

Aí a gente integra (sem botar o C) isso para chegar em g y

g y = ∫ y 2 d y = y 3 3

Com isso a gente acha U x , y completinha:

U x , y = x 4 4 + y ln ⁡ x + g y

U x , y = x 4 4 + y ln ⁡ x + y 3 3

E nossa solução é dada implicitamente pela equação:

U x , y = C

x 4 4 + y ln ⁡ x + y 3 3 = C

Resposta

x 4 4 + y ln ⁡ x + y 3 3 = C

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