Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Equação Exata

Ver Teoria
Exercício 531234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515254555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384

Enunciado

UFSC, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de EDO - Lista 2, Questão 4b.

4) Determinar a EDO exata que tenha como solução geral a equação dada.

b) x 2 s e n 3 y = c

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão, queremos obter a EDO exata cuja solução é dada por x 2 s e n 3 y = c .

E aí, tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Uma EDO exata é dada pela equação

M x , y d x + N x , y d y = 0

Em que

∂ M x , y ∂ y = ∂ N x , y ∂ x

A solução de uma EDO exata é obtida integrando M x , y com relação a x e somando com uma função g y

S x , y = ∫ M x , y d x + g y

Depois derivamos S x , y com relação a y e obtemos g ' y igualando a N x , y

E por fim, integramos g ' y com relação a y para obter g y

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

A solução é dada por x 2 s e n 3 y = c , ou seja, já podemos ver que g y = 0 pois não há uma função de y .

Ou seja, a solução é

S x , y = ∫ M x , y d x

x 2 s e n 3 y = ∫ M x , y d x

Derivando os dois lados com relação a x , temos

M x , y = ∂ x 2 s e n 3 y ∂ x

A derivada de x 2 é obtida pelo método de derivação polinomial

∂ x 2 s e n 3 y ∂ x = 2 x s e n 3 y

Logo, M x , y será dado por

M x , y = 2 x s e n 3 y

Já encontramos metade da equação! 😉

Passo 3

Agora, se a equação é exata, então

∂ M x , y ∂ y = ∂ N x , y ∂ x

Já temos M x , y , então derivando com relação a y , temos

∂ M x , y ∂ y = ∂ 2 x s e n 3 y ∂ y

Pela regra da cadeia, a derivada de s e n 3 y é

∂ M x , y ∂ y = 2 x 3 cos ⁡ 3 y

∂ M x , y ∂ y = 6 x cos ⁡ 3 y

Substituindo na equação

6 x cos ⁡ 3 y = ∂ N x , y ∂ x

Integrando os dois lados com relação a x , temos (desconsiderando a constante de integração)

N x , y = ∫ 6 x cos ⁡ 3 y d x

N x , y = 3 x 2 cos ⁡ 3 y

Logo, a EDO que gera a solução dada será

M x , y d x + N x , y d y = 0

2 x s e n 3 y d x + 3 x 2 cos ⁡ 3 y d y = 0

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

2 x s e n 3 y d x + 3 x 2 cos ⁡ 3 y d y = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas 13 e 14, resolva o problema de valor inicial dado e determine, pelo menos aproximadamente, onde a solução é válida 2 x - y + 2 y - x y ' = 0 , y 1 = 3
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. f ) e x 2 + y 2 xd x + yd y
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. i )- y x 2 + y 2d x + x x 2 + y 2 d y ,x , y ∈ Ω , onde Ω é o conjunto x , y ∈ R 2 y0 ∪ { x , y ∈ R 2 | x0 }
Mostre que existem naturais men para os quais a forma diferencial 3 x m + 1 y n + 1 d x + 2 x m + 2 y nd y É exata.
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique. d )( x + y )d x + ( x - y ) d y