Considere a equação diferencial
- Encontre a solução geral da equação diferencial
- Resolva o problema de valor inicial dado com
Passo 1
Para resolvermos essa equação temos que antes reescreve-la como uma equação exata.
Vamos conferir se essa equação é exata mesmo.
Calculando as derivadas.
Como as derivadas são iguais nós podemos utilizar o método normal das equações exatas.
Passo 2
Integrando em função de .
Passo 3
Derivando o que obtivemos no passo 2 em relação a
Passo 4
Comparando o que obtivemos no passo 3 com .
Resolvendo a EDO teremos.
Passo 5
Inserindo o que obtivemos no passo 4 com o que temos no passo 2 teremos a solução .
Como a nossa função deve ser uma constante.
Passo 6
b)
Agora devemos usar o valor inicial para encontrar a constante .
Logo a nossa equação será.
Resposta
Exercícios Resolvidos de Equação Exata
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Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique.i) (-y / (x^2 + y^2)) dx + (x / (x^2 + y^2)) dy, (x, y) ∈ Ω, onde Ω é o conjunto {x, y ∈ R^2, y0} ∪ {x, y ∈ R^2 | x0}
Mostre que existem naturais m e n para os quais a forma diferencial 3 * x^(m+1) * y^(n+1) * dx + 2 * x^(m+2) * y^n * dy É exata.
Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique.d(x + y)dx + (x - y)dy