Como vimos em sala, a equação

(3x - y - 6) dx + (-x - y - 2) dy = 0

(b) Obtenha a solução pelo método das equações com coeficientes lineares.

Passo 1

Nesse caso, precisamos introduzir novas variáveis. Que na realidade, são as mesmas, porém transladadas:

x = u + h  

y = v + k

Além disso, precisamos garantir que:

3 h - k - 6 = 0 - h - k - 2 = 0 → h = 1 k = - 3

Podemos reescrever x e y então:

x = u + 1 y = v - 3 → d x = d u d y = d v

Passo 2

E agora substituindo:

3 x - y - 6 d x + - x - y - 2 d y = 0

3 ( u + 1 ) - ( v - 3 ) - 6 d u + - ( u + 1 ) - ( v - 3 ) - 2 d v = 0

3 u - v d u + - u - v d v = 0

Arrumando:

d v d u = 3 u - v u + v

d v d u = 3 - v / u 1 + v / u

Passo 3

Façamos a seguinte substituição:

v u = z → v = u z

d v d u = u d z d u + z

Então:

u d z d u + z = 3 - z 1 + z

u d z d u = 3 - z 1 + z - z → u d z d u = 3 - 2 z - z 2 1 + z

Agora podemos separar as variáveis e integrar dos dois lados:

∫ 1 + z 3 - 2 z - z 2 d z = ∫ 1 u d u

Vamos resolver passo a passo cada uma dessas integrais:

∫ 1 u d u = ln ⁡ u + D

Para resolver a próxima integral, vamos usar uma substituição, ok?!

∫ 1 + z 3 - 2 z - z 2 d z

Chamando p = 3 - 2 z - z 2 → d p = - 2 - 2 z d z = - 2 1 + z d z

∫ 1 + z 3 - 2 z - z 2 d z = - 1 2 ∫ 1 p d p = - 1 2 ln ⁡ p → - 1 2 ln ⁡ 3 - 2 z - z 2

Passo 4

Voltando pra nossa igualdade!

- 1 2 ln ⁡ 3 - 2 z - z 2 = ln ⁡ u + D

1 2 ln ⁡ 3 - 2 z - z 2 = - ln ⁡ u + E

ln ⁡ 3 - 2 z - z 2 = - 2 ln ⁡ u + F

3 - 2 z - z 2 = e - 2 ln ⁡ u + F

3 - 2 z - z 2 = C u - 2

E sabemos que v u = z

3 - 2 v u - v u 2 = C u - 2

3 - 2 v u - v 2 u 2 = C u 2 → 3 u 2 - 2 v u - v 2 = C

Passo 5

E agora, finalmente, voltamos para as variáveis iniciais!

x = u + 1 y = v - 3

3 ( x - 1 ) 2 - 2 ( y + 3 ) ( x - 1 ) - ( y + 3 ) 2 = C

3 x 2 - 12 x - 4 y - 2 x y - y 2 = C

Dividindo todos os termos por 2 , ficamos com o resultado da letra ( a ) , mas esta resposta já está correta!

3 x 2 2 - 6 x - 2 y - x y - y 2 2 = C

Resposta

3 x 2 2 - 6 x - 2 y - x y - y 2 2 = C

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