Como vimos em sala, a equação

(3x - y - 6)dx + (-x - y - 2)dy = 0

(a) Obtenha a solução pelo método de equações exatas;

Passo 1

Olha aí, tem cara de equação exata, vamos ver se ela é?

M x , y = 3 x - y - 6 → ∂ M ∂ y = - 1

N x , y = - x - y - 2 → ∂ N ∂ x = - 1

e vemos que

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Então temos uma equação exata.

Passo 2

Vamos integrar M ( x , y ) com respeito a x :

∫ M x , y d x = ∫ 3 x - y - 6 d x = 3 x 2 2 - x y - 6 x + g ( y )

E agora comparamos a derivada do resultado com N ( x , y ) :

∂ 3 x 2 2 - x y - 6 x + g y ∂ y = - x + g ' ( y )

- x + g ' y = - x - y - 2

g ' y = - y - 2

g y = ∫ - y - 2 d y

g y = - y 2 2 - 2 y

Passo 3

Temos que ∫ M x , y d x = u ( x , y ) .

Então, como queremos uma função implícita u x , y = C :

3 x 2 2 - x y - 6 x - y 2 2 - 2 y = C

Resposta

3 x 2 2 - x y - 6 x - y 2 2 - 2 y = C

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