Nos exercícios 7 e 8 resolva o PVI .

7 * e^x + y dx + (2 + x + y * e^y) dy = 0, y(0) = 1

Passo 1

Bom, então nesse exercício temos uma EDO escrita dessa maneira:

M x , y d x + N x , y d y = 0

Ela parece muito ser uma EDO exata, mas saber isso, precisamos ter:

∂ M x , y ∂ y = ∂ N x , y ∂ x

Beleza? Então façamos isso:

M x , y =   e x + y → ∂ M x , y ∂ y = 1

N x , y = 2 + x + y e y → ∂ N x , y ∂ x = 1

∂ M x , y ∂ y = ∂ N x , y ∂ x

A EDO é exata.

Passo 2

Maneiro, agora vamos resolvê-la. A ideia dessa resolução é você pensar que houve uma derivação implícita para chegar naquela EDO, então a solução é do tipo:

u x , y = C

Então para começar a resolver, a o que a gente faz é integrar M ( x , y ) com respeito a x :

∫ M x , y d x = ∫ e x + y d x

∫ e x + y d x = e x + x y + g y

Lembrando que ao invés de colocar a constante de integração C , a gente escreve a constante como uma função de y (nesse caso, g ( y ) ).

Passo 3

Agora que já integramos com respeito a x , vamos derivar com respeito a y e comparar o resultado com N ( x , y ) :

∂ e x + x y + g y ∂ y = x + g ' y

x + g ' y = 2 + x + y e y

g ' y = 2 + y e y

Integrando para descobrir quem é g ( y ) :

g y = ∫ 2 + y e y d y

g y = 2 y + ∫ y e y d y

Para resolver essa integral, nós teremos que usar a integração por partes. Você lembra da fómula?

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Chamando u = y → d u = d y ; d v = e y d y → v = e y :

∫ y e y d y = y e y - ∫ e y d y = y e y - e y

Então ficamos com:

g y = 2 y + y e y - e y

Lembrando que nesse passo, nós ignoramos a constante de integração, ok?

Passo 4

Show!!! Isso significa que:

u x , y = e x + x y + 2 y + y e y - e y

E como temos que u x , y = C :

e x + x y + 2 y + y e y - e y = C

Passo 5

Bora usar a condição inicial para resolver o P V I ?

y 0 = 1

Isso significa que onde é x a gente substitui por 0 e onde é y a gente substitui por 1 :

e 0 + 0.1 + 2 . 1 + 1 e 1 - e 1 = C

C = 3

Finalmente:

e x + x y + 2 y + y e y - e y = 3

Agora corre pro abraço!!!

Resposta

7 .   e x + x y + 2 y + y e y - e y = 3

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